Используя для ζ и ζι выражения (4.8) и (7.22), находим

Если в исходном пункте нивелирной сети потенциал W0 равен потенциалу на эллипсоиде, нормальная высота в обоих определе­ ниях одинакова.

§ 43. НОРМАЛЬНО-ОРТОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЫСОТА И ВЫСОТА КОГЕОИДА

Ортометрическая высота обладает несомненным преимуществом наглядности перед всеми другими системами высот; интуитивно ясно, что высоты следует отсчитывать от уровня моря. В этом случае высота имеет простой физический смысл. Однако вычислению ортометрической высоты препятствует невозможность точного определения действитель­ ной силы тяжести внутри Земли. Поэтому иногда в формуле (7.9) вмес­ то среднего значения действительной силы тяжести между геоидом и поверхностью Земли используют среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке нормальной силовой линии между точкой Р поверх­ ности Земли и такой точкой Р3 (рис. 7.6), для которой разность U3 - Up нормальных потенциалов относительно точки Р равна геопотенциальному числу репера

где U3 - значение нормального потенциала в точке Р3. Такие высоты называют нормалъно-ортометрическими.

Найдем нормально-ортометрическую высоту Нно. Согласно опре­

где утх - среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке Р3Р нор­ мальной силовой линии

<™>

Для ее вычисления нужно знать высоту точки Рт - середины отрез­ ка Р3Р - над эллипсоидом, которая складывается из половины нормаль- но-ортометрической высоты и отрезка Р ^ = ζ2.

212

Рис. 7.6. К понятию нормально-ортометрической высоты

Представим себе, что нормально-ортометрические высоты отложе­ ны вдоль нормали к эллипсоиду вниз от каждой точки поверхности Зем­ ли, аналогично тому, как это было сделано при построении поверхнос­ ти квазигеоида по нормальным высотам. Тогда концы Р3 этих отрезков образуют некоторую поверхность. По предложению английского геоде­ зиста Дж.де Грааф-Хантера (1882-1967) получаемая откладыванием вниз по нормали к эллипсоиду любой высоты поверхность названа когеоидом (от латинского со - с, вместе + геоид).1 В соответствии с этим квазигеоид является одним из когеоидов, а поверхность, полученную в результате откладывания нормально-ортометрической высоты, можно назвать нормально-ортометрическим когеоидом.

Найдем высоту ζ2 точки Р3 над эллипсоидом. Имеем

и О -и 3

ных потенциалов между эллипсоидом и точкой поверхности Земли для

1Джеффрис Г. Земля, ее происхождение, история и строение. - М.: Изд. Иностранной литературы, 1960. - 485 с.

213

получения точки Р3 мы исключили геопотенциальное число W0 - Wp, поэтому

и 0 - и 3 = U0 - U p - (W0 - Wp) = Тр - (W0 - Up),

где Тр - W0 - Up - аномальный потенциал в точке Р физической повер­ хности Земли.

Отсюда следует

Сравним высоту ζ2 с аномалией высоты. Заметим, что при опреде­ лении аномалии высоты и нормальной высоты из разности нормальных потенциалом между точками Р поверхности Земли и эллипсоида так­ же исключено геопотенциальное число W0 - Wp,

UруUр - U0 - и ъ - Тр - (W0 - Up),

поэтому разность потенциалов между точками Рг и Р и точками Pj и Р3 одинакова, а аномалия высоты ζ и высота ζ2 нормально-ортометричес- кого когеоида не совпадают только из-за отличия нормальной силы тяжести в формулах (7.18) и (7.30), причем при положительных нормаль­ ных высотах аномалия высоты больше, чем высота ζ2, потому что ано­ малия высоты лежит на большей высоте над эллипсоидом, где нормаль­ ная сила тяжести меньше.

Сравним высоты геоида

ζ ΐ _ τ Ρ1 w0- v 0

(7.31)

7.7ι

инормально-ортометрического когеоида. Из-за близости высоты геоида

икогеоида в этой формуле использовано то же самое значение γχ нор­ мальной силы тяжести, что и в формуле (7.30). Вычитая из выражения (7.31) равенство (7.30), найдем

ζ * - ζ ι = (Τ η - Тр)1 г,.

Отличие геоида и нормально-ортометрического когеоида зависит от разности аномального потенциала на геоиде и на физической поверхнос­ ти Земли и не может быть определено без знания плотности внутри Земли.

Аномальный потенциал в точках поверхности Земли не по­ стоянен, поэтому ни квазигеоид, ни нормально-ортометрический когеоид не являются уровенными поверхностями.

214

§ 44. СРАВНЕНИЕ ОРТОМЕТРИЧЕСКОЙ, НОРМАЛЬНОЙ И НОРМАЛЬНООРТОМЕТРИЧЕСКОЙ ВЫСОТ

Сравним ортометрическую (7.9) и нормальную (7.15) высоты. Формально они различаются тем, что в выражении (7.15) вместо

действительной силы тяжести gm использована нормальная сила тяжести ут. Существенно, что в (7.15) осреднение нормальной силы тяжести выполняется в нормальном поле на отрезке PjP7 от эл­ липсоида до вспомогательной точки Р7. Для вычисления этой ве­ личины никакой информации о внутреннем строении Земли не требуется.

Оценим разность ортометрической и нормальной высот. Вы­ читая из выражения (7.15) равенство (7.9), находим

&т

Нормальную силу тяжести на высоте Н7/2 над эллипсоидом находим по формуле (7.16).

Используя для gm выражение (7.12) и полагая вертикаль­ ный градиент реальной силы тяжести равным нормальному и

Так как земная кора в целом изостатически компенсирована, аномалии Буге на суше, особенно в горных районах, как прави­ ло, отрицательны. Поэтому нормальные высоты в общем меньше ортометрических.

Формула (7.32) и приведенные в таблице 7.1 значения оценива­ ют также разность аномалии высоты ζ и высоты геоида ζ 8. Дей­ ствительно, вычитая из выражения (7.17) равенство (7.10), получим

215

Оценим разность нормальной и нормально-ортометрической высоты. Вычитая из (7.15) (7.27), найдем

н у _ н Н0 —Y™ У™ц у

У'т

и, используя полученные ранее значения ут и ут\ получим

Такой же будет и разность аномалии высоты и высоты нор- мально-ортометрического когеоида.

В таблице 7.1 приведена оценка разностей высот по получен­ ным формулам для характерных значений высот и элементов ано­ мального поля Земли. Согласно этой оценке, отличие ортометрических и нормальных высот составляет в равнинных районах ме­ нее 1 см, в горах достигает 1 м. Предельное значение этой разности не превосходит 3 м. Разности нормальной и нормально-ортомет­ рической высоты значительно меньше и составляют для средних квадратических значений высоты и аномалии высоты менее 1 см. Это означает, что квазигеоид и нормально-ортометрический когеоид одинаково представляют поверхность геоида. На океане, когда нормальная высота равна нулю, все эти поверхности со­ впадают. Таким образом, из рассмотренных трех систем высот:

ортометрической по Гельмерту

нормальной

и нормально-ортометрической

только нормальная высота получается по результатам измерений и не требует предварительного определения аномального поля.

216

Т а б л и ц а 7.1

Оценка разности высот в различных системах

В этих формулах g и у - действительная и нормальная сила тяжести в точке Р поверхности Земли; у0 - нормальная сила тяже­

сти на эллипсоиде в точке Pi.

р

Во все высоты входит геопотенциальное число W0 - W = j gdh -

о

также измеряемая величина. Отличие систем высот определено раз­

личием множителя перед геопотенциальным числом. Геодезическая высота имеет только геометрический смысл как

расстояние между точками. Остальные высоты имеют и геомет­ рический и физический смысл и вместе с геоидальной частью дают геодезическую высоту

Н = Н8 + ? = IP + ζ = Нно +

Нормальная высота определяется строго по измерениям толь­ ко на Земле. Для ее вычисления не нужно знать аномалию высо­ ты. Эти высоты практически не зависят от выбора эллипсоида, так как параметры эллипсоида входят только в коэффициенты нормальной силы тяжести γ0. Для вычисления нормально-орто- метрической высоты нужно знать высоту ζι когеоида.

При измерении нивелирных превышений и вычислении геопотенциальных чисел в разных странах используют различные ис­ ходные пункты. Каждая изолированная нивелирная сеть, разви­ тая от какого-либо футштока, определяет разности потенциалов точек этой сети относительно уровенной поверхности W = W0, проходящей через исходный пункт данной сети. Поскольку уровень моря в разных районах Земли различен, исходные пунк­ ты связаны с разными уровенными поверхностями, и по измере-

217