Если при вычислении физического астрономо-геодезического уклонения отвеса использован общий земной эллипсоид, это укло­ нение отвеса совпадет с гравиметрическим. Таким образом, абсо­ лютное физическое астрономо-геодезическое уклонение отвеса - это гравиметрическое уклонение отвеса, вычисленное по астрономо-гео­ дезическим данным.

§ 26. ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

Топографическим уклонением отвеса называют уклонение отвес­ ной линии, вызванное притяжением топографических масс. Рассмот­ рим топографическое уклонение для простейшей модели. Положим нормальную Землю плоской и однородной, а аномальное поле - созданным однородной горой, возвышающейся над этой плоско­ стью (рис. 4.4). Нормальная сила тяжести γ направлена по норма­ ли к плоскости. Вследствие притяжения F горы сила тяжести моде­ ли, являющаяся равнодействующей сил γ и F, не совпадет с нор­ мальной силой тяжести у и образует с ней угол ι?τ, являющийся топографическим уклонением отвеса.

Усложним модель, добавив к ней аномальные массы т2, т3, плотность которых отличается от плотности & В этом случае сила тяжести будет равнодействующей нормальной силы тяжести γ, силы F притяжения однородной горы и сил Fj, F2, F3 притяжения внут­ ренних аномальных масс, а угол между нормальной силой тяжести и этой равнодействующей составит гравиметрическое уклонение отве­ са. Следовательно, топографическое уклонение отвеса отличается от гравиметрического из-за притяжения внутренних аномальных масс.

Рис. 4.4. Топографическое уклонение отвеса

118

Принцип вычисления топографического уклонения отвеса по­ ясним с помощью рис. 4.5. Здесь начало координат Р совмещено с вычислительной точкой, плоскость хРу - с уровенной поверхнос­ тью точки Р, ось х направлена на север, ось у - на восток. Выделим элемент dm = Sdhda топографических масс, da - площадь основа­ ния, dh - высота элемента объема, занятого массой dm. Для проек­ ций dFx, dFy силы dF притяжения точки Р элементом массы dm за­ пишем выражение

отвеса, до элемента массы dm\ г -проекция г на горизонтальную плоскость; А - азимут.

Чтобы получить топографическое уклонение отвеса, нужно про­ интегрировать формулы (4.18) по всем массам, возвышающимся

Рис. 4.5. К вычислению топографического уклонения отвеса

119

Знаки в последних равенствах приняты в соответствии с прави­ лом счета астрономо-геодезических и гравиметрических уклонений отвеса (см. § 9): уклонение отвеса положительно, если вектор силы тяжести отклоняется к юго-западу от нормали к эллипсоиду. Вы­ полнив по формулам (4.19) интегрирование по А, получим

где do = rdrdA\ плотность δ постоянна; ΗΎ- высота текущей точки поверхности Земли; Щ - высота точки Р, гх- радиус учитываемой области.

Так как при постоянной высоте Н у0 интеграл по азимуту равен нулю, а для малых превышений

Я 7 - Щ < г

можно считать г = г, формулу (4.20) обычно записывают в виде

Топографические уклонения отвеса используют при вычисле­ нии местных гравиметрических уклонений отвеса. Использование формул (4.16) и (4.17) предполагает, что вокруг точки вычисления имеется сплошная гравиметрическая съемка. Но реальные измере­ ния всегда дискретны, поэтому возникает необходимость интерпо­ ляции аномалий силы тяжести между гравиметрическими пункта­ ми. Для повышения точности их интерполяции используют косвенную интерполяцию через аномалии Буге (g - γ)Ε, т.е. пред­ ставляют аномалию в свободном воздухе в виде

где 27tG5Hr- поправка за промежуточный слой; δ - плотность гор­ ных пород.

120

После подстановки выражения (4.22) в формулы (4.17) Венинг - Мейнеса получим, считая плотность постоянной,

(4.23)

о о

Первый член правой части формулы (4.23), вычисляемый по аномалиям Буге, отражает влияние внутренних аномальных масс в земной коре; второй член учитывает влияние топографических масс и совпадает с формулой (4.20) топографического уклонения отве­ са. При спокойном поле аномалий Буге первый член в (4.23) бли­ зок к нулю; если в то же время рельеф достаточно сложный и коле­ бания высот значительны, влияние топографических масс будет основным и можно считать, что топографические уклонения отве­ са равны гравиметрическим

В равнинных районах, наоборот, влияние топографических масс пренебрегаемо и уклонение отвеса определяется в основном при­ тяжением аномальных масс земной коры, т.е. первым членом пра­ вой части выражения (4.23).

Вычисления по формулам (4.21) и (4.23) выполняют численным интегрированием.

§ 27. ТОПОГРАФО-ИЗОСТАТИЧЕСКИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

Уклонения отвеса открыл П.Буге во время Перуанской экспе­ диции 1735-1742 гг. Измерив зенитные расстояния одной и той же звезды в моменты ее прохождения через меридиан с противопо­ ложных сторон высочайшей вершины эквадорских Анд Чимбора­ со (высота 6310 м) и расстояние между пунктами наблюдения, Буге получил астрономо-геодезическое уклонение отвеса. Затем Буге вычислил уклонение отвеса, вызванное притяжением этой горы, и обнаружил, что астрономо-геодезическое уклонение отвеса значи­ тельно меньше топографического. Это привело Буге к мысли, что

121

гора является оболочкой, внутри которой имеются пустоты. Сто лет спустя поиски причин расхождений астрономо-геодезического и топографического уклонения отвеса привело к гипотезе изоста- зии, которая стала наиболее заметным вкладом геодезии в изуче­ ние внутреннего строения Земли.

Гипотеза изостазии началась с исследований Пратта, посвящен­ ных анализу обнаруженных Дж.Эверестом (1790-1866) уклонений отвеса в Индии. Эверест приписал уклонения отвеса воздействию Гималаев. В середине XIX в. по просьбе руководителей геодезичес­ кими работами в Индии архидиаконом Калькутты Джоном Г.Праттом (1809-1871) были вычислены меридиональные составляющие топографического уклонения отвеса для трех пунктов на севере (пункт Калиана), в центре (пункт Каланпур) и юге (пункт Джамаргида) Индии, причем учитывалось притяжение топографических масс на огромной территории, включающей Гималаи и Тибет на севере и Индийский океан на юге. По вычислениям Пратта оказа­ лось, что в пункте Калиана меридиональная составляющая топог­ рафического уклонения отвеса равна -34,033", а астрономо-геоде­ зического -5.236". Значения меридиональной составляющей для тех же пунктов по более поздним вычислениям приведены в таблице 4.1. Разности астрономо-геодезических и гравиметрических укло­ нений отвеса значительны и составляют 35-40", но плавно изменя­ ются при изменении широты пунктов.

Для объяснения различия между астрономо-геодезическим и топографическим уклонениями отвеса в 1855 г. английский астро­ ном, директор Гринвичской Королевской обсерватории Джордж Б. Эри (1801-1892), и несколько позже Пратт независимо друг от друга предложили гипотезу изостазии. Согласно этой гипотезе, избытку масс в горах соответствует недостаток масс внутри Земли под горами, а недостаток масс в океане компенсируется избытком масс ниже его дна, и, начиная с некоторой глубины Г, называемой

глубиной изостатической компенсации, поверхности равного дав­

122

ления (изобарические поверхности) совпадают с уровенными. Это означает, что между уровнем моря и поверхностью компенсации распределены массы, компенсирующие давление земной коры, и вес любого вертикального столба высотой Η + Т и равного попереч­ ного сечения одинаков.

Впервые мысль о существовании компенсации топографичес­ ких масс высказал Леонардо да Винчи (1452-1519) на основании общих соображений о развитии Земли. В дальнейшем существова­ ние изостатического равновесия земной коры было подтверждено гравиметрическими и геофизическими данными, а гипотезы Эри и Пратта развиты многими геодезистами. В частности, американс­ кий геодезист Д. Хейфорд (1868-1925) использовал видоизменен­ ную гипотезу Пратта при выводе параметров земного эллипсоида.

Схема изостатической компенсации по Пратту - Хейфорду дана на рис. 4.6. Согласно этой гипотезе, плотность возвышающихся над уровнем моря топографических масс постоянна и равна средней плот­ ности δ0 земной коры, а между уровнем моря и поверхностью ком­ пенсации расположены компенсирующие массы с разной плотностью.

Рис. 4.6. Схема изостатической компенсации по Пратту - Хейфорду

Условия равенства масс в любом вертикальном столбце равно­ го поперечного основания можно записать в виде:

где δΜ- плотность морской воды; δχ- плотность масс между уров­ нем моря и поверхностью компенсации для континентальных уча­ стков; ^ 2 - плотность масс под дном моря; г - глубина моря.

123

Согласно формуле (4.20) дополнительная плотность, обеспечи­ вающая компенсацию, составляет

Для суши при положительных высотах величина Δ<5 отрицатель­ на и плотность <5ι меньше средней плотности земной коры. На море Δ<5 положительна и плотность ^ масс под дном моря больше сред­ ней плотности δ0.

Топографо-изостатические уклонения отвеса, учитывающие яв­ ление изостазии, находят следующим образом: раздельно вычисля­ ют притяжение топографических и компенсирующих масс, а затем находят их разность. В обоих случаях используют формулы, анало­ гичные формулам (4.21) для сферической Земли. Хейфорд разрабо­ тал методику численного интегрирования и в 1909-1910 гг. выпол­ нил обширные исследования топографо-изостатических уклонений отвеса на территории США, результаты которых были использова­ ны при выводе параметров эллипсоида, названного его именем.

Топографические и компенсирующие массы оказывают разное влияние на уклонение отвеса. Компенсирующие массы в ближай­ ших окрестностях вычислительной точки не оказывают влияния на уклонение отвеса, поскольку эти массы находятся под точкой вычисления и их притяжение направлено вниз, а горизонтальная составляющая притяжения при постоянной плотности равна нулю. На расстоянии около 1 километра компенсирующие массы умень­ шают влияние топографических масс примерно на 1%; на расстоя­ ниях от 20 до 70 км притяжение топографических масс почти вдвое больше притяжения компенсирующих, а на расстоянии около 1000 км от точки вычисления притяжение топографических и компенси­ рующих масс примерно равны. При дальнейшем увеличении рас­ стояния притяжение компенсирующих масс больше, поскольку эти массы расположены ближе к точке вычисления. При этом, поскольку отличие в расположении топографических и компенсирующих масс относительно точки вычисления при увеличении расстояния ста­ новится пренебрегаемым, разность притяжений топографических и компенсирующих масс убывает и влияние дальних зон на топог­ рафо-изостатические уклонения отвеса близко к нулю. В связи с этим при вычислении топографо-изостатических уклонений отве­ са можно ограничиться учетом масс в радиусе около 4-5 тыс. км. Таким образом, опыт вычисления топографо-изостатических по­ правок свидетельствует о необходимости учета притяжения ком­

124