§ 47. СВЯЗЬ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА И АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

В главе 4 для аномалии высоты получено выражение (4.8). Возьмем произвольную точку поверхности Земли и введем то-

поцентрическую систему координат: ось ζ направим по направле­ нию, противоположному направлению нормальной силы тяжести, ось х по касательной к меридиану на север, ось у на восток.

Найдем изменение άζ аномалии высоты при переходе от точки поверхности Земли, являющейся началом выбранной системы ко­ ординат, в бесконечно близкую точку с координатами dx, dy, dz

Выясним смысл входящих в это выражение величин. Нормаль­

ная сила тяжести не зависит от долготы, т.е. от у, поэтому произ-

Эу водная — равна нулю. Перегруппируем члены в выражении (8.1)

dy

и запишем его в виде

Производные потенциала в горизонтальном направлении - это составляющие уклонения отвеса. Можно показать, что

где ξΦ - составляющая уклонения отвеса в плоскости меридиана в физическом определении. Коэффициент при dz согласно формуле (4.11) равен смешанной аномалии Ag = g - у силы тяжести

ЭГ_Эу „

-(g -7 ). (8.3)

dz

поэтому

227

Введем полярные координаты /, А в горизонтальной плоскости ху, где I - расстояние; А - азимут. Тогда

приращение dz заменим превышением dh. В результате получаем

Выражение в скобках согласно формуле (4.15) является состав­ ляющей уклонения отвеса в азимуте отрезка dl, поэтому

Посмотрим, как изменяется аномалия высоты при перемеще­ нии по уровенной поверхности. В этом случае превышение dh рав­ но нулю и из равенства (8.7) получаем

ИЛИ

э/

Положим в формулах (8.2) нормальную силу тяжести постоян­ ной, тогда

Следовательно, если считать нормальную силу тяжести посто­ янной или рассматривать изменение аномалии высоты на уровен­ ной поверхности, то уклонение отвеса является производной ано­ малии высоты. Если же аномалии высоты известны не на уровен­ ной поверхности и dh * 0 , уклонения отвеса следует получать из соотношения

Таким образом, знание уклонений отвеса позволяет найти раз­ ность аномалий высоты, а разности аномалий высоты - уклонения отвесной линии.

228

Во всех полученных соотношениях уклонения отвеса и анома­ лии высоты должны быть согласованы между собой. В зависимости от того, какие уклонения отвеса использованы, определяется изме­ нение аномалии высоты как относительно общего земного, так и референц-эллипсоида. В случае использования астрономо-геодези­ ческих уклонений отвеса согласно выражениям (4.14) и (4.15) имеем

И

ά ζ ΑΓ= -[(ξΑΓ 0,171# sin 2Б) cos Л + η ΑΓ sin A\dl - - —-dh. (8.11)

Если в формуле (8.7) использовать гравиметрические уклоне­ ния отвеса ϋ то, поскольку они являются абсолютными, бу­ дет определено изменение аномалии высоты относительно общего земного эллипсоида

Отличие формул (8.11) и (8.12) только в том, что в первой из них использованы относительные, а во второй - абсолютные ук­ лонения отвеса.

Найдем разность дифференциалов астрономо-геодезической (относительной) и гравиметрической (общеземной) аномалий вы-

σ — γ

соты. Член - — - dh из этой разности исключится и

ИЛИ

ά(ζΑΓζΓ) = - ΑϋάΙ,

а для разности Αϋ- астрономо-геодезического (в физическом опре­ делении) и абсолютного гравиметрического уклонений отвеса мож­ но написать

Это означает, что разность уклонений отвеса является произ­ водной разности аномалий высоты.

Для нахождения разности аномалий высоты между удаленными пунктами А и Вследует проинтегрировать выражение (8.11) или (8.12)

где €0 определена формулой (8 .1 0 ).

229

Определение разности аномалий высоты по формуле (8.14) тре­ бует знания астрономо-геодезических уклонений отвеса и анома­ лии силы тяжести во всех точках линии A-В. Основное затрудне­ ние связано с определением уклонения отвеса, поскольку аномалии силы тяжести можно найти с необходимой точностью по грави­ метрической карте. Заметим, что поскольку άζΑΓ является полным дифференциалом, разность аномалий высот не зависит от пути нивелирования и определяется только положением начальной и конечной точек.

§ 48. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АСТРОНОМО­ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

Существует несколько способов определения астрономо-геоде­ зических уклонений отвеса: линейная интерполяция, косвенная интерполяция с использованием гравиметрических или топогра­ фических уклонений отвеса, передача уклонений отвеса по зенит­ ным расстояниям, определение уклонений отвеса по аномалиям высоты. Рассмотрим эти способы.

Линейная интерполяция астрономо-геодезических уклонений от­ веса. Положим, что уклонения отвеса между астропунктами меня­ ются по линейному закону. Тогда при интерполировании между двумя астропунктами в любой точке соединяющей их линии со­ ставляющая гГГ будет равна

где ϋΑΑΓ и ΰβΑΓ- уклонения отвеса в начальном А и конечном В пунктах; I - длина линии; х - расстояние текущей точки, к которой относится ϋ^Γ, от астропункта А.

В астрономо-геодезической сети СССР расстояния между аст­ ропунктами в среднем равны 80-90 км. Поэтому предположение о линейном характере изменения уклонения отвеса между ними не обосновано и может привести к значительным ошибкам интерпо­ лированных уклонений. Опытным путем установлено, что ошибка

линейной интерполяции астрономо-геодезического уклонения отвеса в равнинных районах составляет

где / - расстояние между астропунктами в километрах. Из выраже­ ния (8.16) следует, что при расстоянии в 1 0 0 км ошибка интерполи­

230

рования составит 1,7". Согласно данным (см. с. 188) это превос­ ходит допустимую ошибку уклонения отвеса для редуцирования горизонтального направления для зенитных расстояний, меньших 85-87°. Полная ошибка интерполирования с учетом ошибок аст­ рономических определений ηιφ= 0,3"и т я = 0,5"

и при I = 1 0 0 км составит 1,9". Эта оценка относится к спокойным районам и может быть в несколько раз больше для районов с резко аномальным гравитационным полем. Так, в районе Московской аномалии при спокойном рельефе уклонения отвеса на меридиане Кремля меняются от -7,5"до +8,1 "на расстоянии всего 45 км, при­ чем это изменение нелинейно (см. таблицу 8.1). Ошибка (δξ), ли­ нейного интерполирования достигает 7-8".

Приведенный пример показывает, что даже в равнинном райо­ не при интерполировании на расстояние около 70 км уклонения отвеса могут иметь ошибки, превосходящие их значения. В горных районах ошибка интерполяции в несколько раз больше.

Интерполирование астрономо-геодезических уклонений отвеса с использованием гравиметрических данных. Как уже отмечалась, ас­ трономо-геодезические и гравиметрические уклонения отвеса от­ личаются из-за кривизны нормальной силовой линии и несовпаде­ ния референц-эллипсоида и нормальной Земли. При вычислении

231

уклонения отвеса обычно всю поверхность Земли разбивают на две части: ближнюю зону, сферическую шапку со0радиуса ψ0с центром в вычислительной точке, и дальнюю зону. Если же гравиметричес­ кие уклонения отвеса вычислены с учетом влияния только ближних зон, появится дополнительное различие между астрономо-геоде­ зическими и гравиметрическими уклонениями отвеса из-за влия­ ния дальних зон.

Референц-эллипсоид и Нормальная Земля (общий земной эллип­ соид) - близкие поверхности простой формы, поэтому угол между нормалями к их поверхностям невелик, плавно изменяется при пе­ ремещении по Земле от одного астропункта к другому и его можно линейно интерполировать. Дальние зоны также дают плавную часть в уклонении отвеса и их влияние сравнительно просто учесть ана­ литически или надежно интерполировать между астропунктами. Быстро меняющаяся часть в уклонениях отвеса обусловлена влия­ нием близко расположенных аномальных масс земной коры, т.е. аномалиями силы тяжести в ближних зонах.

Пусть А, В, С - астропункты, между которыми на площади σ нужно выполнить интерполирование астрономо-геодезических ук­ лонений отвеса (рис. 8.1). Вычислим местные гравиметрические уклонения отвеса по формулам (4.17) Венинг-Мейнеса с учетом аномалий силы тяжести в области Σ, целиком заключающей σ. Гра­ виметрические уклонения отвеса и представим в виде

где & - влияние аномалий силы тяжести за пределами области Σ (влияние дальних зон).

Рис. 8.1. К косвенной интерполяции астрономо-геодезических уклонений отвеса

232

Границу области Σ выберем на таком расстоянии от σ, чтобы влияние ί? 1 дальних зон в пределах области σ менялось по линей­ ному закону. Образуем разность определенного формулой (8.10) физического астрономо-геодезического и гравиметрического & уклонений отвеса. Эта разность равна составляющей к угла между нормалями к референц-эллипсоиду и общему земному эллипсоиду:

ϋ φ- ϋ Γ= к.

Внесем сюда гравиметрическое уклонение отвеса (8.18) и перене­ сем в получившемся равенстве неизвестное влияние ^ в правую часть

ϋ φ - & = к + # ' .

Обе величины в правой части неизвестны, но являются линей­ ными функциями расстояния. Значит, разность ϋ φ - ^уклонений отвеса также линейная функция.

Введем обозначение

На этих двух соотношениях основана методика косвенной ин­ терполяции астрономо-геодезических уклонений отвеса, заключа­ ющаяся в следующем: на астропунктах вычисляют разности Αϋ ас­ трономо-геодезических и местных гравиметрических уклонений отвеса, которые затем линейно интерполируют на определяемые точки. Затем вычисляют гравиметрические уклонения отвеса ύΡ в определяемых точках с учетом аномалий силы тяжести в области Σ и прибавляют к ним интерполированные разности А#инт.

для астрономо-геодезических уклонений отвеса в физическом оп­ ределении и

для уклонений отвеса в геометрическом определении. Полученные по формулам (8.21) - (8.22) астрономо-геодези­

ческие уклонения отвеса называют иногда астрономо-гравиметри­ ческими.

Разность Αϋ астрономо-геодезических и гравиметрических со­ ставляющих уклонения отвеса в произвольном азимуте легко най­

233

ти через разности составляющих уклонения отвеса в плоскости меридиана и первого вертикала

Косвенная интерполяция позволяет значительно уменьшить ошибки интерполирования. Так, для примера в таблице 8.1 ошиб­ ка интерполированного уклонения отвеса при косвенной интер­ поляции уменьшается до 1". Исключение составляет пункт Суханово, где разность δξ2 непосредственно измеренной и интер­ полированной составляющей уклонения отвеса достигает 4" что может свидетельствовать об ошибке астрономической широты этого пункта.

Описанная методика интерполирования уклонений отвеса раз­ работана в 1934 г. М.С. Молоденским по инициативе Ф.Н. Кра­ совского. Это был первый опыт практического применения грави­ метрической съемки для решения задач геодезии. К этому времени (с 1932 г.) в Советском Союзе быстрыми темпами создавалась сплош­ ная маятниковая съемка, одним из инициаторов проведения кото­ рой был выдающийся астроном и гравиметрист А.А. Михайлов (1888-1983). Наличие гравиметрической съемки страны явилось важнейшим стимулом развития теории и практики геодезической гравиметрии и в значительной степени способствовало созданию М.С. Молоденским новой теории геодезии. С середины 30-х гг. XX

в.гравиметрический метод изучения поверхности и поля Земли как

вглобальных, так и в локальных исследованиях стал неотъемлемой частью геодезии.

Основное условие применимости метода косвенной интерпо­ ляции уклонений отвеса - выбор размеров области Σ, гарантирую­ щий линейное изменение влияния дальних зон на участке σ интер­ полирования. М.С. Молоденским доказано, что для выполнения этого условия достаточно выбирать радиус области Σ в 1,5-2 раза больше расстояния между астропунктами. Так, при расстоянии между астропунктами 70 км нужно учесть аномалии силы тяжести

врадиусе 105-140 км.

Вформуле (8.19) вместо местных гравиметрических ^уклон е­ ний отвеса можно использовать топографические ϋ τ или топогра- фо-изостатические. Показательна в этом отношении таблица 4.1. Линейное интерполирование астрономо-геодезического уклонения отвеса пропорционально разности широт дает для пункта Каланпур -4,56"и значительно отличается от измеренного, равного нулю. Интерполированная также линейно разность ξ*Γ - ξτ для этого

234

пункта оказывается равной ренной разностью.

Оценку точности интерполированных уклонений отвеса выпол­ няют по методике оценки точности двойных измерений, образуя вторичные разности £ξ,εη величин Αξ, Δη между соседними астро­ пунктами

Ч +/ - Ч = £ξ, Щ +1 - Щ = εψ

где i - номер астропункта.

Тогда средние квадратические ошибки

Вторичные разности Εξ, εη при перемещении по поверхности Земли меняются плавно; на небольших расстояниях их можно счи­ тать постоянными. Поэтому по колебаниям этих разностей судят

оточности астрономических определений.

Вастрономо-геодезической сети СССР ошибка интерполиро­ вания составляла 0,3-0,5"в равнинных районах, 1-1,4"- в горных.

Передача астрономо-геодезических уклонений отвеса тригоно­ метрическим нивелированием. Измеряемые в тригонометрическом нивелировании зенитные расстояния можно использовать для пе­ редачи астрономо-геодезических уклонений отвеса. Вернемся к рис. 6.3. Если пренебречь несовпадением плоскостей POPQ H QOqP пря­ мого и обратного нормального сечений, можно считать, что нор­ мали к эллипсоиду пересекаются в точке О. Тогда из треугольника PQO (рис. 8 .^) можно написать

Измеренное зенитное расстояние отличается от геодезического из-за уклонения отвесной линии и влияния рефракции. На рис. 8.2 геодезическое зенитное расстояние zpq - это угол между линиями Оо

235

ной Рр2 к рефракционной кривой в точке Р. Согласно рис. 8.2

а

где гр - влияние рефракции; ϋρΛΓ- астрономо-геодезическое укло­ нение отвеса в точке Р. Для разности астрономо-геодезических ук­ лонений отвеса получим

где ϋηΓ, ϋρΓ - составляющие астрономо-геодезического уклоне­ ния отвеса в азимуте линии PQ.

Q

о

Рис. 8.2. Схема передачи уклонений отвеса с помощью зенитных расстояний

Возможность передачи астрономо-геодезических уклонений отвеса по измерениям зенитных расстояний лимитируется влияни­ ем вертикальной рефракции.

Определение уклонений отвеса по аномалиям высоты. Если име­ ются каталоги или карты аномалий высоты, уклонения отвеса мож­ но найти численным дифференцированием. Согласно равенству (8.7), переходя от дифференциалов άζ, dl, dh к конечным разностям

236