Гл ава 6

РЕДУЦИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Геодезические измерения выполняют в различных координат­ ных системах. Так, при угловых измерениях вертикальную ось ин­ струмента совмещают с отвесной линией в пункте наблюдений, а значит, выполняют измерения в горизонтной астрономической системе координат. Измеренный базис в триангуляции - это про­ екция образованной его пролетами ломаной линии на уровенную поверхность; геометрическое нивелирование определяет расстоя­ ние между близкими уровенными поверхностями; во всех этих случаях, а также при астрономических определениях координат и азимута используют натуральную систему координат. Тахеомет­ рическую съемку выполняют в топоцентрической полярной астро­ номической системе. Спутниковые определения дают прямоуголь­ ные геоцентрические координаты пунктов или их разности. Нако­ нец, из дальномерных измерений получают расстояние между точками в пространстве, инвариантное к системам координат. Со­ вместная обработка результатов измерений, выполненных в раз­ ных системах, вызывает необходимость их редуцирования в единую систему координат.

Сложность формы уровенных поверхностей не позволяет по­ строить простую методику обработки измерений в натуральной системе координат и затрудняет возможность уравнительных вы­ числений в этой системе, поскольку условия, накладываемые на результаты измерений, почти всегда неизвестны. Поэтому геодези­ ческие измерения обычно обрабатывают в геодезических (прямоу­ гольной X, У, Ζ или криволинейной В, L, Я) системах. Классическим астрономо-геодезическим методом плановые координаты В, L и высоту Н определяют раздельно. Это вызвано как невозможнос­ тью равноточного определения плановых координат и высот из-за влияния вертикальной рефракции, так и стремлением упростить математическую обработку, уменьшая число определяемых вели­ чин с трех (В, L, Н) до двух (В, L). При этом точки на поверхности

167

эллипсоида соединяют геодезическими линиями. В связи с этим воз­ никает задача нахождения на эллипсоиде длин геодезических ли­ ний и углов между ними по соответствующим величинам, измерен­ ным на поверхности Земли. Эту задачу называют редукционной за­ дачей геодезии.

Развитие методов геодезических измерений изменило содержа­ ние редукционной задачи. Прогресс дальномерных измерений при­ вел к тому, что угловые измерения утратили свою доминирующую роль, а основным видом измерений в геодезии стали линейные. Эти измерения не зависят от поля силы тяжести, но для их приведения к эллипсоиду нужно знать координаты В, L, Н. Геодезические кри­ волинейные координаты В, L, Н можно получить спутниковым методом, используя преобразования (2.8), (2.9) и (2.13) - (2.15). Плановые координаты Д L пространственных точек и их проек­ ций на эллипсоид по нормали к его поверхности одинаковы, по­ этому при GPS-определениях задача редуцирования на эллипсоид не возникает. По-иному обстоит дело с высотами. Геодезические высоты служат только как третья координата, дополняющая сис­ тему В, L до пространственной. Однако для решения задач, связан­ ных с работой в поле силы тяжести, эти высоты непригодны. По­ этому одной из главных задач редуцирования является переход от спутниковых геодезических высот к высотам в натуральной систе­ ме координат. Эта задача будет рассмотрена в главе 7.

Необходимость решения редукционной задачи возникает и в тех случаях, когда выполняют сравнение и совместную обработку классических линейно-угловых и спутниковых измерений. Поэто­ му редукционная задача актуальна и ныне.

Возможны два варианта редуцирования. В одном из них полу­ чают соотношения между измеренными величинами на Земле и со­ ответствующими им элементами на эллипсоиде непосредственно. Во втором находят поправки (редукции) к результатам измерений.

Общим требованием к редуцированию является условие сохра­ нения в редуцированных величинах той точности, с которой были выполнены измерения. В связи с этим ошибки редукций и их влия­ ние должны быть в несколько раз меньше ошибок измерений. Вы­ бор эллипсоида, к поверхности которого выполняется редуциро­ вание, не имеет принципиального значения. Однако практически удобно, чтобы поверхность эллипсоида была, по возможности, близка поверхности Земли и параллельна уровенным поверхнос­ тям силы тяжести. Тогда редукционные поправки будут малы по величине, и их можно получать по приближенным координатам и по более простым формулам, а редуцированные на эллипсоид ве­

168

личины будут близки к соответствующим им величинам на поверх­ ности Земли.

Необходимо также учитывать характер влияния редукций. Если это влияние носит систематический характер, в отдельное измере­ ние нужно вносить редукционные поправки даже в том случае, если они существенно меньше ошибок измерений.

Редуцирование включает в себя три последовательных этапа. Если измерения выполнены в натуральной системе, сначала нужно перейти к геодезической системе координат. Затем в геодезической системе перенести измерения из внешнего пространства на поверх­ ность эллипсоида, причем все пункты нужно спроектировать по нормалям к его поверхности. Наконец, нужно соединить точки на эллипсоиде геодезическими линиями, т.е. перейти к полярной сис­ теме криволинейных координат 5, А. Таким образом, в результаты измерений вводят поправки трех видов:

-за уклонение отвесной линии, т.е. за переход от натуральной системы координат к геодезической;

-за высоту над поверхностью эллипсоида;

-за переход от элементов, получившихся после введения первых двух поправок, к соответствующим элементам геодезических линий.

Рассмотрим редуцирование измерений разных видов.

§34. РЕДУКЦИЯ УГЛОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

РЕДУКЦИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ

Горизонтальным направлением называют направление линии пе­ ресечения вертикальной плоскости, проходящей через отвесную ли­ нию (вертикальную ось теодолита) и наблюдаемый пункт, с гори­ зонтальной плоскостью (плоскостью лимба теодолита). Рассмотрим рис. 6.1. Здесь Р, Q, С - пункты на поверхности Земли; р, q, с - их проекции по нормалям на эллипсоид; Pg - отвесная линия, Pq'c' - точки на горизонтальной плоскости, и - угол между отвесной лини­ ей Pg и нормалью Рр к эллипсоиду - астрономо-геодезическое укло­ нение отвесной линии. Пусть измерен угол q'Pc', нужно найти угол qpc между геодезическими линиями pq и рс. Переход от измеренного угла к редуцированному выполняют введением ряда поправок.

Поправка за уклонение отвесной линии. Проведем вокруг пункта Р вспомогательную сферу произвольного радиуса (рис. 6.2), нор­ маль Рр к эллипсоиду пересечет эту сферу в точке Z геодезического зенита, отвесная линия - в точке Z8 астрономического зенита, на­ правление на наблюдаемый пункт - в точке Q.

169

Q

Рис. 6.1. Проектирование измеренного угла на поверхность референц-эллипсоида; pq, рс - геодезические линии

Итак, ось теодолита совмещена с отвесной линией PZ8, измере­ но направление Z8Q, нужно получить редуцированное направле­ ние ZQ.

Проведем через Z8 линию, параллельную дуге ZQ; угол δ{между этой линией и направлением Z8Q и есть искомая поправка в гори­ зонтальное направление.

Разложим уклонение отвеса и на составляющие ϋΑ= Ζη в ази­ муте редуцированного направления и ΰΑ+90 = Ζ8η в перпендикуляр­ ном направлении; дуга Ζ8η перпендикулярна ZQ. Из прямоуголь­ ного треугольника Z8Qn получим

cos(90° - <5,) = tgtf^ctgZ°,

где Za = ZgQ - астрономическое зенитное расстояние точки Q. Ук­ лонение отвеса обычно не превышает нескольких секунд, поэтому

трономо-геодезического уклонения отвеса в плоскости меридиана

170

ζ

Рис. 6.2. К определению поправки в горизонтальное направление за уклонение отвесной линии

Подставляя формулу (6.2) в (6.1), напишем окончательное выраже­ ние поправки за уклонение отвеса

где А - азимут направления.

Таким образом, поправка за уклонение отвеса зависит от зе­ нитного расстояния наблюдаемой точки. В триангуляции зенит­ ные расстояния, как правило, близки к 90°, поэтому поправка за уклонение отвеса мала и не превышает 0,1 ϋΑ+90при \ζα- 90° | <30'. В инженерно-геодезических сетях возможны углы наклона, дости­ гающие 30°- 40°, для которых ctgZfl = 0,58-0,84. Поэтому уклонения отвеса нужно знать по крайней мере с той же точностью, с кото­ рой измеряют горизонтальные углы.

171

Поправка за высоту наблюдаемого предмета. Рассмотрим рис. 6.3. Здесь РОр и QOq - нормали к эллипсоиду; О - центр эллип­ соида; QOpP - плоскость прямого в точке Р нормального сечения, Pq" - измеренное направление, исправленное поправкой δχ за ук­ лонение отвеса; pq - нормальное сечение, проходящее через проек­ цию q точки Q на поверхность эллипсоида. Поправка δ2за высоту наблюдаемого предмета - это угол между измеренным pq" и реду­ цированным pq направлениями. Угол ε между нормалью к эллип­ соиду в точке Q и прямой QOp мал, поэтому можно считать, что qq" = Hsins, где Н - высота точки Q над эллипсоидом. Дуга qq"

Рис. 6.3. К определению поправки в горизонтальное направление за высоту наблюдаемого предмета

172

лежит в плоскости меридиана точки Q. Найдем ее проекцию qn на направление перпендикуляра к линии pq". Согласно рис. 6.3

qn = qq"sinAq,

где Aq - азимут линии qp в точке q. Поправка δ2 из треугольника qpn равна

О„О„cos В.я sin ε = ■·ρ 4

Q°p

где Bq - широта точки Q.

В курсе сфероидической геодезии доказывается, что нормаль к эллипсоиду пересекает малую осью на расстоянии e2N$mB от цент­ ра эллипсоида, поэтому

где В - широта точки Р; N - радиус кривизны первого вертикала определен формулой (2.7). Длины сторон в триангуляции не пре­ вышают нескольких десятков километров, а высоты точек поверх­ ности Земли над эллипсоидом - нескольких километров.

Положим поэтому радиусы кривизны N и N в точках Р и Q и отрезок QOp одинаковыми и равными N. Тогда

173

где Μ - радиус кривизны меридиана; А - азимут измеряемого на­ правления.

Если использовать среднее для Земли значение радиуса кривиз­ ны М 9поправку за высоту наблюдаемого предмета можно вычис­ лять по формуле

где высота Н выражена в километрах. Согласно (6.8) эта поправка для максимальной высоты на Земле не превышает одной секунды.

Запишем формулу (6.4) в ином виде. Положим — = ctgZ, sins = £,

РЯ

тогда

δ2= £ sin Aqctg Z,

где Z - зенитное расстояние точки Q в точке р поверхности эллип­ соида.

Эта формула аналогична формуле (6.1), а произведение £sinAq есть составляющая угла между нормалями к эллипсоиду в точках Р и Q в азимуте направления, перпендикулярного линии pq". Поэтому поправ­ ки ή и δ2имеют один и тот же физический смысл и учитывают наклон вертикальной оси инструмента относительно нормали к эллипсоиду. Причем в первом случае учитывается отклонение оси инструмента (отвесной линии) от нормали к эллипсоиду в точке наблюдения, во втором - от нормали в наблюдаемой точке. Такой же вид, как по­ правки δ, и δ2, имеет и поправка за наклон вертикальной оси инстру­ мента из-за его неточной установки по уровням. Поэтому поправки ή и δ2имеет смысл вводить только в том случае, если инструмент при наблюдениях был тщательно установлен по уровням.

Поправка за переход от нормального сечения к геодезической ли­ нии. Нормали к эллипсоиду, проведенные через две точки его по­ верхности, не лежащие на одном и том же меридиане или паралле­ ли, не лежат в одной плоскости и являются скрещивающимися пря­ мыми. Поэтому линии pnq и qop пересечения поверхности эллипсоида плоскостями Ppq прямого и Qqp обратного нормаль­ ных сечений не совпадают (см. рис. 6.1). Для устранения неопреде­ ленности точки на поверхности эллипсоида соединяют геодезичес­

174

кими линиями, для чего в полученные после редуцирования на эл­ липсоид углы между прямыми нормальными сечениями вводят по­ правки. Поправка <53 за переход от нормального сечения к геодези­ ческой линии имеет вид [14].

Согласно этой формуле, поправка <53 пропорциональна квадра­ ту отношения длины s линии к радиусу Np кривизны первого вер­ тикала, поэтому при небольших расстояниях ее вычисляют по уп­

рощенной формуле

/2

<53 = р*———- s 2cos2 Впsin 2Ап.

где s - выражают в сотнях километров.

Согласно формуле (6.9) поправка за переход от нормального се­ чения к геодезической линии составляет 0,001" при длине линии 20 км.

Таким образом, для редуцирования горизонтального направ­ ления к эллипсоиду в измеренное значение нужно ввести сумму по­ правок <5, + δ2+ <53.

РЕДУКЦИЯ АСТРОНОМИЧЕСКОГО АЗИМУТА

Азимут - это двугранный угол между плоскостью меридиана и вертикальной плоскостью, проходящей через местный предмет. Это одна из топоцентрических горизонтных полярных координат (см. § 10, рис. 2.11). Чтобы перейти от астрономического азимута к геодезическому, следует учесть угол между плоскостями астроно­ мического и геодезического меридианов, а также поправки ή + δ2+ + δ3 в направление, азимут которого определяется. Поправку за переход от астрономического меридиана к геодезическому полу­ чим с помощью рис. 2.7, согласно которому угол между их плоско­ стями равен разности Я - L астрономической и геодезической дол­ гот. Но азимут лежит в горизонтальной плоскости хРу, которая наклонена к плоскостям экватора и параллели на угол 90° - φ. Про­ екция угла Я - L на горизонтальную плоскость равна (λ - L)sin(p, поэтому для редуцирования азимута получаем

175

Поправку в астрономический азимут можно найти также как разность поправок (<5j+ <52+ δ3) для местного предмета и + δ'2 + + δ'3) для оси Мира. Для оси Мира А = 0; Ζ = 90° - φ, поэтому согласно (6.3) <У, = η tg<p, а из (6.6) и (6.9) следует <У2= <У3 = 0. Таким образом, для геодезического азимута можно записать

Если не учитывать поправки в направление на местный пред­ мет, вместо формул (6.10) и (6.11) получаем

Уравнения (6.10) - (6.13) называют уравнениями Лапласа, а вы­ численный по ним азимут А - азимутом Лапласа.

Таким образом, азимут Лапласа можно найти, если измерены астрономические координаты <р, λ и азимут а. Астропункт, на ко­ тором выполнены все эти измерения, называют пунктом Лапласа. Для перехода от астрономического азимута к геодезическому нуж­ но также знать геодезическую долготу L. Поскольку геодезические координаты известны с большей точностью, чем астрономические, можно считать азимут Лапласа независящим от ошибок долготы. Поэтому азимут Лапласа рассматривают как геодезический азимут, полученный независимо от геодезических измерений, и использу­ ют для контроля угловых измерений в триангуляции.

РЕДУКЦИЯ ЗЕНИТНОГО РАССТОЯНИЯ

Рассмотрим рис. 6.2. Из прямоугольного сферического треу­ гольника ZgQn имеем

cosZ* = cos ( ϊ ?λ +90ο) cosQn.

Уклонения отвеса всегда малы, поэтому можно считать, что cos ( ^ +90о) = 1, а дуга Qn равна разности геодезического зенитного расстояния 7J и уклонения отвеса ϋΑв азимуте измеряемого направ­ ления, Qn = ΖΓ- и для геодезического зенитного расстояния получаем

Поправка в зенитное расстояние одинакова для всех направле­ ний, лежащих в одной вертикальной плоскости по одну сторону от зенита, и не зависит от зенитного расстояния.

176