J 2 7Г J_

где gm =[— \Ag1 da\ 1 - среднее квадратическое значение анома-

2л iо

лии силы тяжести на окружности радиуса г. Теперь для δ получаем

δ< Р2 V2 2 2πγ 4

и при г —> ©о обращается в нуль. Чтобы не преуменьшать значение ошибки, примем за Agmсреднее квадратическое значение аномалии силы тяжести на границе областей Σ и Σ' ближних и дальних зон, соответствующее минимальному значению радиуса г = Ry/a.

Окончательно для ошибки интерполирования получим

Положим р - 20 км, Agm= 40 мгл, /?у^= 1000 , тогда δ < 1 см. Таким образом, если расстояние между пунктами с известными

астрономо-геодезическими аномалиями Η - Н7 высоты составляет 20 км, возможно их интерполирование с ошибкой меньше 1 см, если при вычислении гравиметрических аномалий высот учтена область радиуса 1000 км.

При точных вычислениях нельзя ограничиться формулой Сто­ кса, а аномалии в свободном воздухе нужно интерполировать кос­ венно с использованием карт аномалий Буге и рельефа.

§ 56. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

Выше было показано, что для нахождения разности нормаль­ ных высот по спутниковым измерениям нужно знать разность ме­ стных гравиметрических аномалий высоты. Если же речь идет об определении полного значения высоты, то возникает необходимость вычисления полной гравиметрической аномалии высоты. Однако вычисление гравиметрических уклонений отвеса и аномалии высо­ ты встречает ряд трудностей, связанных с отсутствием непрерыв­ ных измерений силы тяжести на поверхности Земли и особеннос­ тями функции Стокса. Рассмотрим эти вопросы подробнее.

257

Поведение функции S(i//) Стокса (4.32) в зависимости от рас­ стояния ψ иллюстрирует рис. 8.6. Вблизи вычислительной точки при у/ —> Офункция Ξ(ψ) неограниченно возрастает, а на большей части поверхности сферы она меняется плавно; так, на интервале 27° < ψ< 180° ее значения меняются в пределах ±3. Поэтому влия­ ние аномалий силы тяжести вблизи точки вычисления и в удален­ ных от нее точках учитывают по-разному.

Рис. 8.6. Функция Стокса

Влияние ближней зоны со0 учитывают обычно методом численно­ го интегрирования с использованием гравиметрических и топогра­ фических карт разных масштабов и каталогов средних значений ано­ малий силы тяжести на трапециях малых размеров. Влияние анома­ лий силы тяжести на остальной части ω -ω0 поверхности Земли, т.е. влияние дальних зон, представляют в виде быстро сходящегося ряда.

Преобразование формулы Стокса

Преобразование формулы Стокса, приводящее к удобным как для вычисления аномального потенциала Г, так и для точностных оценок выражениям, выполнено М.С. Молоденским в 1945 г. [20]. Позднее подобные преобразования формулы Стокса были выпол­ нены В.Ф. Еремеевым, М.И. Юркиной, Г. Джеффрисом, О.М. Остачем и другими. Рассмотрим принцип преобразования формулы Стокса по методу Остача.

Представим формулу (8.30) Стокса суммой двух интегралов

258

первый из которых вычислен по круговой области со0 радиуса ψ0 с центром в точке вычисления, второй по остальной части со - со0 поверхности сферы со. Влияние дальних зон удобно представить в виде ряда сферических функций. Но сферические функции на части ω - со0 поверхности сферы не ортогональны. Чтобы восстановить ортогональность, добавим ко второму интегралу в правой части

выч-

тем его из первого интеграла, где S(y/0) - значение функции Стокса

на границе, разделяющей ближние и дальние зоны. Тогда выраже­ ние для аномалии высоты получит вид

где F(ψ) - вспомогательная функция (рис .8.7), обладающая свой­ ствами

Ξ(ψ)ψ0 <ψ<π.

Первый член формулы (8.68) совпадает с формулой (8.45).

10

4)

5

Рис. 8.7. Преобразованная функция Стокса

259

Функцию F(t//) раскладывают в ряд по полиномам Р„(cosy/) Лежандра

где коэффициенты Q попределены выражением

π

Q„ = J F(y)Pn(cost//) sinψάψ,

0

- сферическая функция степени п в разложении аномалии силы тяжести.

Используя свойства функции F(y/), находим

при ψ0 = η Qn = 0, поэтому формула(8.72) объединяет ряд и фор­ мулу Стокса.

При практических вычислениях суммирование ряда в выраже­ нии (8.72) выполняют до некоторого конечного значения п = т, а сферические функции нулевой и первой степеней исключают и фор­ мулу для аномалии высоты записывают в виде

260

где £ ς- ошибка, вызванная ограничением ряда степенью п = т,

п=т+1

Во втором члене формулы (8.73) суммирование можно выпол­ нять до сравнительно низких степеней т. Это объясняется тем, что члены высоких степеней в ряде Стокса связаны с быстроменяющейся короткопериодической частью в аномалиях силы тяжести и обусловлены влиянием ближайших окрестностей вычислительной точки. Выделение интегрального члена, учитывающего влияние ближних зон, существенно повышает сходимость ряда. Влияние дальних зон выражает общие особенности гравитационного поля и поэтому соответствует членам низких степеней. Приближенно зависимость между радиусом ψ0 ближних зон и степенью т учиты­ ваемых членов разложения выражают формулой

Согласно этой формуле, если радиус ближних зон составляет 100 км (ψ0 ~ 1°) т = 180, для радиуса 300 км (ψ0 ~Ъ°) т ~ 60.

Формулы для уклонений отвеса можно получить дифференци­ рованием (8.73)

(8.76)

dAg„

эв

2У

cos BdL

где элемент άω поверхности единичной сферы выражен через коор­ динаты ψ, А текущей точки; άω = siniμάψάΑ; £ξ, εη - ошибки соот­ ветствующих величин из-за ограничения ряда.

Формулы (8.73) и (8.76) получены на основании одного и того же преобразования и поэтому согласованы друг с другом. Интег­ ральные члены этих формул отражают влияние ближних зон и ис­

261

пользованы для вычисления местных аномалий высоты и уклоне­ ний отвеса в методе астрономо-гравиметрического нивелирования в СССР1и при косвенной интерполяции астрономо-геодезических аномалий высоты. Также можно ограничиться только интеграль­ ным членом (8.73) при интерполировании нормальных высот с ис­ пользованием спутниковых наблюдений. Если же необходимо най­ ти полное значение аномалии высоты, следует учитывать и влия­ ние дальних зон.

Местные гравиметрические аномалии высоты, выражаемые интегральным членом в выражении (8.73), получают обычно чис­ ленным интегрированием, заменяя аномалии силы тяжести g их средними значениями Agik на выбранных площадках. Можно ис­ пользовать криволинейные трапеции, показанные на рис. 8.3, или разделить область интегрирования на площадки, ограниченные меридианами и параллелями. Рассмотрим первый способ, приме­ няющийся при ручном счете.

Функция Стокса и ее производная при ψ = 0 имеют особеннос­

(8.76) являются несобственными. Однако для функции Стокса осо­ бенность в нуле устраняется, так как произведение SXy^sini^ ограничено на всем интервале изменения ψ, поэтому влияние всей области радиуса ψ0 на аномалию высоты учитывают по единой методике.

Разделим область интегрирования на п зон, ограниченных ра­ диусами ψι_χ, Ψ,, и к секторов, разделенных азимутами АкЛ и Ак. Примем разность Ак - Ак_, постоянной для всех секторов и равной

А. Тогда для местной аномалии высоты получим

1Остан О.М. К методике астрономо-гравиметрического нивелирования /Реф. сборник ЦНИИГАиК, 1970. - № 6. - С. 28-33.

262

где Agi - средняя аномалия силы тяжести в кольцевой зоне с номе­ ром i. Выполнив интегрирование по ψ, получим

ζ Σ = — Σ Α8ί['ί (Ψί'>-'/ (Ψί-0 +Ξ(Ψο)((:θ8Ψί-ε™ Ψί-\)1 (8.78)

где

J(¥) = J 5(ψ)8ΐηψάψ = -^cos2 ψ —cosy/ + sin у (3cosψ +1) -

Радиусы у/;· кольцевых зон можно выбирать так, чтобы влия­ ние всех зон на аномалию высоты было одинаковым, т.е. чтобы коэффициенты при Agt в формуле (8.78) были равны.

Для повышения точности определения средних аномалий gik силы тяжести применяют косвенную интерполяцию этих ано­ малий через аномалии Буге или в неполной топографической ре­ дукции.

Описанная методика вычисления гравиметрической аномалии высоты позволяет находить ее с необходимой точностью. Кроме того, точность вычисления легко повысить, уменьшая ширину коль­ цевых зон и секторов. Однако она достаточно громоздка и требует ручного счета, поэтому применяется только для учета ближайшей окрестности точки вычисления. Разработаны аналитические мето­ ды учета влияния ближних зон, основанные на использовании мо­ делей аномалий силы тяжести в виде системы материальных точек или представлении аномалий интерполяционным полиномом. Эти методы описаны ниже. Однако все эти методы уступают по точно­ сти рассмотренной методике.

Гравиметрические уклонения отвеса используют, как правило, для интерполирования астрономо-геодезических уклонений и учи­ тывают поэтому влияние только ближних зон. Гравиметрические аномалии высоты также используют для интерполирования астро- номо-геодезических аномалий высоты и нормальных высот и в этом случае тоже можно ограничиться учетом только ближних зон. Для нахождения значения геодезической высоты, связи изолированных нивелирных сетей, вычисления значения потенциала нужно знать полное значение аномалии высоты, т.е. учитывать также влияние дальних зон.

263

У ч е т в л и я н и я д а л ь н и х з о н н а а н о м а л и ю в ы с о т ы

Влиянию ζ Σ =ζψο дальних зон соответствует второй член в

правой части формулы (8.73)

Как видно из выражения (8.80), чтобы найти влияние дальних зон, нужно вычислить коэффициенты усечения Qn и сферические функции

где Pn(sinB),Pnk(B) - нормированные полиномы Лежандра, свя­

аПо,апк,Ьпк ~ нормированные коэффициенты разложения анома­ лии силы тяжести; В, L - координаты вычислительной точки.

Нормированные полиномы Лежандра удобно вычислять по формулам1

1Чуйкова Н.А., Максимова Т.Г. Гармонический и статистический анализ глубин поверхности Мохоровичича /Труды ГАИШ. - Т. LXY, М. 1996. - С. 33-50.

264

Т о ч н о с т ь в ы ч и с л е н и я г р а в и м е т р и ч е с к о й а н о м а л и и в ы с о т ы

Ошибка вычисления аномалии высоты вызвана ошибками тх средних аномалий Δ#,· силы тяжести в кольцевых зонах, ошибками коэффициентов ank,bnk разложения аномалий и ограничением ряда, представляющего влияние дальних зон.

Ошибка т{ влияния ближних зон согласно формуле (8.78) со­ ставит

i

β

где с( = — [J(y/i)-J(y/i- 0 + S(y/o)(cosy/j - cosy/',·.,)]; тГ ошибка ано-

2 γ

малии в кольцевой зоне. Среднее значение gx аномалии силы тя­

жести в кольцевой зоне удобнее находить не для всей зоны сразу, а после разделения зоны на отдельные трапеции и нахождения сред­ них аномалий сначала по трапециям, а затем уже определять об­ щее среднее значение в зоне. Выразим ошибку га, через ошибку mik аномалии в отдельной трапеции

где q{ - число трапеций в зоне.

Практически удобнее использовать по возможности равносто­ ронние трапеции. При оценке точности вычисления влияния ближ­ них зон будем считать Землю плоской. Тогда из условия равенства средней ширины 2ягс//д,· трапеции ширине г, - гм зоны

где гм , г, - внешний и внутренний радиусы зоны; гср =(г,- + гм )/2. Положим ошибку mik равной ошибке представительства

где D - дисперсия, d - расстояние корреляции.

Эта формула основана на полученных Ю.М. Нейманом значе­ ниях ошибки представительства. Для трапеций малых размеров при

265

(г, - г,.,) < d вместо формулы (8.84) можно использовать прибли­ женное выражение

Оценим ошибку т2 аномалии высоты, вызванную влиянием даль­ них зон. Будем понимать под т2 интегральное среднее ошибки £ζ в отдельной точке по поверхности со сферы единичного радиуса

где dn - степенные дисперсии; 5gn - ошибка сферической функции Agn в разложении аномалий силы тяжести.

Поскольку при вычислении аномалии высоты учтены только начальные члены ряда, для оставшейся части ряда при оценке точ­ ности следует вместо дисперсий dn ошибок использовать степен­ ные дисперсии Dnаномалий силы тяжести. Таким образом, ошибка аномалии высоты, вызванная влиянием дальних зон, получает вид

Суммируя ошибки rrij и т2 , найдем полную ошибку вычисления гравиметрической аномалии высоты

Гравиметрические аномалии высоты нужно определять с точнос­ тью до сантиметра для получения (совместно с нормальными высота­ ми) геодезических высот. В настоящее время такая точность еще не достигнута. Это вызвано сложностью учета так называемых средних зон. Ближайшие окрестности точки вычисления до расстояния около 100 км можно вычислить с необходимой точностью, используя грави­ метрическую съемку высокой плотности и тщательно учитывая влия­ ние рельефа. Влияние дальних зон при их внутреннем радиусе 20003000 км также вычисляют с высокой точностью при использовании современных моделей гравитационного поля (EGM-96, ГАО-98).

266