q0 - значение функции q при b = Ь0. На поверхности эллипсоида, когда q = q0, потенциал притяжения определен уравнением

Обратим внимание, что согласно уравнениям (3.36) и (3.37) по­ тенциал притяжения зависит от угловой скорости вращения эллип­ соида. Этот парадоксальный факт объясняется тем, что на поверх­ ности эллипсоида (3.27) потенциал Uo силы тяжести должен быть постоянен, и изменение потенциала центробежной силы должно компенсироваться изменением потенциала притяжения.

Добавляя к (3.37) центробежный потенциал (3.25), получаем вне­ шний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида вращения

Таким образом, для определения потенциала силы тяжести уро­ венного эллипсоида (Нормальной Земли) нужно знать четыре по­ стоянные - GM, Ь0, Ε,ω; постоянная q0 согласно (3.33) является функцией Ь0 и Е.

Получим потенциал Uo силы тяжести на поверхности эллипсо­

На любом другом эллипсоиде при ЪФЪ0 потенциал зависит от широты и. Это означает, что только одна уровенная поверхность U - U0 будет эллипсоидальной.

§ 16. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА В ВИДЕ РЯДА

Выше потенциал притяжения уровенного эллипсоида получен в замкнутом виде (3.36) в системе координат м, Ь. Потенциал при­ тяжения реальной Земли в §14 представлен в виде бесконечного ряда (3.8) в сферической системе координат г, Ф, L. Это вызывает зат­

78

руднение при сопоставлении реального и нормального потенциа­ лов и нахождении аномального потенциала. Для такого сравнения удобнее использовать нормальный потенциал в форме (3.17).

Найдем коэффициенты ряда (3.17) для случая, когда потенциал VHявляется потенциалом притяжения уровенного эллипсоида. При­ равняем выражения VHи Vэ

В левой части - бесконечное множество параметров А2п - ко­ эффициентов разложения потенциала, являющихся стоксовыми постоянными Нормальной Земли. Справа - четыре параметра GM, bQ, Е, (о. Это означает, что коэффициенты А2п не могут быть зада­ ны произвольно и являются функциями параметров эллипсоида. Преобразование, устанавливающее связь коэффициентов А2п и постоянных GM, b0, Е, со, выполнено Хейсканеном и Морицем [30].

Преобразуем левую часть формулы (3.40). Выделим в Ун член нулевого порядка, учитывая, что А°0 - GM,

(3.41)

Введем новые коэффициенты J2n по правилу

(3.42)

В формуле (3.42) в знаменателе можно использовать не только большую полуось а0 уровенного эллипсоида, но и любую другую постоянную линейной размерности; этот множитель вводится для того, чтобы получить безразмерные коэффициенты в разложении потенциала притяжения. После введения коэффициентов J2nпотен­ циал притяжения примет вид

(3.43)

79

Теперь преобразуем правую часть (3.40). Вынесем отношение

GM

за скобки и запишем потенциал (3.36) эллипсоида в виде

где согласно выражению (2.24) выполнена замена a2 =b2 + Е2.

Используем ряд (3.34) и разложение (3.35) и напишем

Сопоставим потенциалы (3.43) и (3.44). Возьмем произвольную точку на оси Ζ вращения эллипсоида. Для такой точки геоцентри­ ческая широта Ф совпадает с приведенной широтой и, причем обе они равны к/2 , а полуось b совпадает с радиусом-вектором г (см. рис. 2.4 и 2.5)

Ф = и = /г/2 => г = Ь.

Приравняв потенциалы (3.43) и (3.44) для этого случая, находим

80

Это выражение имеет принципиальное значение. Оно связыва­ ет коэффициенты J2n, являющиеся стоксовыми постоянными уровенного эллипсоида, с его геометрическими параметрами - эксцен­ триситетом е и постоянной q0 - и угловой скоростью вращения (т.е. параметром т ).

Использование параметра q0 неудобно на практике. Значения коэффициентов разложения действительного потенциала получа­ ют из наблюдений. Поэтому разумно ввести в число исходных по­ стоянных наибольший по величине параметр второй степени J2. Полагая в (3.46) п = 1, найдем

Параметр J2 называют зональным гармоническим коэффициен­ том второй степени.

Выясним физический смысл параметров т и J2. Запишем пара­ метр щ в виде

щейся в центре эллипсоида, также на его экваторе. Произведение М а2 представляет собой момент инерции массы М относительно оси вращения эллипсоида. Это максимально возможное значение полярного момента инерции, которое было бы в том случае, если бы вся масса эллипсоида находилась на его экваторе, на расстоя­ нии а0от оси вращения. Таким образом, т - это отношение цент­ робежной силы к силе притяжения на экваторе; J2 - отношение раз-

81

посты полярного и экваториального моментов инерции к максималь­ ному моменту инерции

ТG C C -А)

Добавив к потенциалу (3.43) притяжения эллипсоида центро­ бежный потенциал (3.24), для потенциала силы тяжести получаем

Подчеркнем, что выражение (3.43) справедливо для любого по­ тенциала, обладающего симметрией относительно оси Ζ и плоско­ сти экватора. Потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида получится только в том случае, когда коэффициенты ряда, входя­ щего в (3.43), определены формулой (3.48).

Коэффициенты J2n содержат множитель е20п и быстро убывают

при возрастании п, вследствие чего ряд (3.43) сходится очень быст­ ро. Поэтому при вычислении нормального потенциала редко учи­ тывают члены выше степени п = 5.

Найдем выражение для потенциала U0 силы тяжести на поверх­ ности эллипсоида. Так как в этом случае потенциал постоянен, для нахождения U0достаточно вычислить потенциал (3.50) в любой точке эллипсоида. Если выбрать точку на экваторе, то г = а0, Ф = 0 и

Поскольку коэффициенты J2n зависят от J2и е0, для нахождения потенциала на поверхности уровенного эллипсоида нужно знать постоянные GM, а0, J2, е0. Выше (см. формулу (3.39)) для потенциа­ ла U0 было получено замкнутое выражение, содержащее постоян­ ные GM, Е, Ь0, ω.

82