Л.В. ОГОРОДОВА

ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯ

Часть III ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГЕОДЕЗИЯ

Рекомендовано УМО по образованию в области геодезии и фотограмметрии в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов

650300 — Геодезия (специальности 300100 — Прикладная геодезия, 300200 — Астрономогеодезия,

300500 — Космическая геодезия)

Москва

Геодезкартиздат

2006

П Р Е Д И С Л О В И Е

Учебник «Теоретическая геодезия» заключает серию учебни­ ков и учебных пособий по высшей геодезии («Основные геодези­ ческие работы», «Сфероидическая геодезия», «Теоретическая гео­ дезия»), подготовленных коллективом кафедры высшей геодезии МИИГАиКа. Первая из названных частей - Н.В.Яковлев, «Выс­ шая геодезия» - опубликована в 1989 г.; вторая - Е.Г.Бойко, «Выс­ шая геодезия, часть II. Сфероидическая геодезия» - в 2002 г.

В настоящее время теоретическую геодезию изучают по учеб­ ному пособию Л.П.Пеллинена «Высшая геодезия (теоретическая геодезия)», 1978. За четверть века в высшей геодезии произошли значительные изменения, среди которых можно назвать появле­ ние глобальных спутниковых систем определения местоположе­ ния, завершение уравнивания астрономо-геодезической сети СССР

и введение новых систем координат, создание международной служ­ бы вращения Земли (МСВЗ). В той или иной степени эти измене­ ния нашли отражение в предлагаемом учебнике. По сравнению с учебным пособием Л.П.Пеллинена изменено расположение мате­ риала; сначала рассмотрены общие вопросы геодезического ис­ следования Земли как планеты, а затем локальные и региональ­ ные исследования. Благодаря этому удается более последователь­ но придерживаться принципа постепенного введения новых понятий. Основное внимание уделено астрономо-геодезическому методу изучения Земли, поскольку спутниковый и гравиметричес­ кий методы рассматривают в курсах космической геодезии, геоде­ зической гравиметрии и теории фигуры Земли.

Проблемы изучения временных изменений поверхности и гра­ витационного поля Земли и их интерпретаций ныне выделены в самостоятельную дисциплину - геодинамику. Поэтому в настоя­ щем учебнике эти вопросы затронуты только в связи с установле­ нием системы геодезических координат.

Учебник рассчитан на студентов специальностей «Приклад­ ная геодезия», «Астрономогеодезия» и «Космическая геодезия».

3

В В Е Д Е Н И Е

ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Теоретической геодезией называют раздел высшей геодезии, в котором рассматривается решение ее основной научной задачи - определение поверхности и внешнего поля силы тяжести Земли на основании совокупности различных видов измерений земной по­ верхности и силы тяжести.

Отличительной особенностью теоретической геодезии по срав­ нению с другими разделами геодезии является то, что на всех эта­ пах решения названной задачи геодезические измерения рассмат­ ривают в реальном гравитационном поле. Если в топографии и инженерной геодезии земную поверхность определяют относитель­ но сферы или плоскости, в сфероидической геодезии решают за­ дачи на поверхности эллипсоида вращения, то в теоретической геодезии изучают физическую поверхность в действительном поле силы тяжести.

Представление о поверхности Земли изменялось по мере раз­ вития геодезии. Около двух с половиной тысячелетий назад пер­ вобытное понятие плоской Земли сменила мысль о шарообраз­ ной Земле, и появилась задача определения радиуса R Земли. Со времен Исаака Ньютона (1643-1727) под фигурой Земли понима­ ли сжатый эллипсоид вращения, а задачей геодезии стало опреде­ ление двух его параметров - большой полуоси а и сжатия а. В конце XVIII - начале XIX в. в работах многих астрономов и гео­ дезистов появилась мысль об отличии уровенной поверхности земного поля силы тяжести от поверхности эллипсоида. Задачу геодезии стали отождествлять с задачей изучения одной уровенной поверхности, близкой к поверхности Мирового океана, которую позднее назвали геоидом.

Современный период геодезии начался работами Михаила Сергеевича Молоденского (1909-1991), сформулировавшего основ­ ную задачу геодезии как задачу определения физической поверх­

5

ности и внешнего гравитационного поля Земли и их изменений во времени. Эту задачу в мировой литературе называют задачей Молоденского. Отметим, что содержание понятия «физическая поверхность Земли» неоднозначно; его пояснению посвящена пер­ вая глава. Задача Молоденского является более полной по срав­ нению с задачей определения геоида, поскольку по Молоденскому определяется гравитационное поле вне Земли, т.е. форма всех уровенных поверхностей в их совокупности, а не одной единствен­ ной поверхности (геоида). В то же время в отличие от задачи на­ хождения геоида задача Молоденского допускает строгое реше­ ние, поскольку в этом случае объектом изучения является только внешнее гравитационное поле. Геоид же на континентах распо­ ложен внутри Земли и принципиально не определим по измерени­ ям на ее поверхности.

Практически определение поверхности Земли сводится к уста­ новлению в единой системе координат положения закрепленных тем или иным образом на Земле опорных пунктов. Поэтому зада­ чей теоретической геодезии является установление системы коор­ динат и создание опорной геодезической тии-носителя этой систе­ мы. В настоящее время для решения этой задачи с наивысшей точ­ ностью привлекают все виды геодезических измерений. В связи с этим возникает проблема совместной обработки разнообразных геодезических данных, которая осложняется огромным массивом исходной информации.

Пространственное положение точек опорной сети задают их плановыми координатами и высотами над отсчетной поверхнос­ тью. В силу многих причин высоты имеют принципиальное отли­ чие от плановых координат, и проблема установления системы высот представляет собой отдельную задачу, которую также ре­ шает теоретическая геодезия.

Любую систему геодезических координат ориентируют отно­ сительно оси вращения Земли и ее центра масс. Но ось вращения изменяет свое положение внутри Земли. Поэтому координаты опорных пунктов в системе координат, привязанной к мгновен­ ной оси вращения Земли, будут изменяться со временем. Выход из положения находят в том, что геодезическую систему коорди­ нат жестко закрепляют внутри Земли, приняв в качестве опорно­ го направления осредненное положение ее оси вращения за опре­ деленные интервалы времени.

Большая часть поверхности Земли покрыта океаном, на повер­ хности которого невозможно создание опорной сети. Поэтому на океане используют принципиально иные методы определения его

6

поверхности, основанные на изучении физических свойств и дина­ мики океана и спутниковых технологиях. Изучение поверхности Мирового океана также относят к задачам теоретической геодезии.

В геодезии и поверхность Земли, и ее гравитационное поле принято представлять их отклонениями от выбранной модели, называемой Нормальной Землей. Параметры, задающие Нормаль­ ную Землю и ее гравитационное поле, называют фундаменталь­ ными геодезическими постоянными. Их определение также входит в задачи теоретической геодезии.

Поверхность Земли изменяется с течением времени в силу раз­ личных причин, что проявляется как изменения координат пунк­ тов геодезических сетей. С целью изучения движений земной коры геодезические наблюдения повторяют через определенные проме­ жутки времени, что позволяет определять скорость и направле­ ние этих движений. Изучение современных движений земной коры

также относят к задачам теоретической геодезии.

Таким образом, проблема определения поверхности и грави­ тационного поля Земли предусматривает:

-изучение вращения Земли и установление системы координат;

-определение фундаментальных геодезических постоянных;

-создание опорной геодезической сети на суше;

-создание единой системы высот;

-геодезическое изучение Мирового океана;

-изучение изменений поверхности и поля силы тяжести во времени.

Обобщая сказанное, можно сформулировать современную за­ дачу теоретической геодезии как задачу изучении поверхности и внешнего гравитационного поля Земли по всей совокупности гео­ дезических измерений, рассматриваемых в реальном поле силы тяжести и реальном времени.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

Для определения поверхности и гравитационного поля Земли привлекают результаты всех видов геодезических измерений, к кото­ рым относятся: 1) астрономические определения; 2) триангуляция и полигонометрия; 3) измерение зенитных расстояний; 4) геометри­ ческое нивелирование; 5) измерения силы тяжести; 6) наблюдения исскуственных спутников Земли (ИСЗ) и космических объектов.

На разных этапах развития геодезии роль отдельных видов измерений и методов изучения Земли изменялась. Однако для наи­

7

более полного и точного решения задачи изучения Земли необхо­ димо использовать результаты всех видов измерений, поскольку недостатки одного компенсируются достоинствами другого.

Рассмотрим основные методы определения поверхности и гравитационного поля Земли.

Относительные и абсолютные определения положения пунктов.

Положение пунктов земной поверхности издавна находили двумя методами. Один из них определяет только плановое взаим­ ное расположение близких пунктов, например, от Москвы до Петербурга на северо-запад 660 км, в 400 км к востоку от Москвы находится Нижний Новгород. Такого рода задачу решают отно­ сительные спутниковые определения, триангуляция или полигонометрия. Названные методы фактически являются дифференциаль­ ными (разностными, относительными) и определить положение Москвы на поверхности Земли они не могут. Другие методы дают возможность определить положение пункта относительно эква­ тора и начального меридиана при помощи абсолютных спутни­ ковых или астрономических определений. Эти методы можно на­ звать абсолютными, если для всей поверхности Земли использо­ ван один и тот же экватор и начальный меридиан.

В соответствии с измерениями, которые играют господствую­ щую роль в том или ином способе, методы изучения поверхности

игравитационного поля Земли принято разделять на классичес­ кие наземные и методы спутниковой или космической геодезии.

Кклассическим наземным методам относятся астрономо-геодези­ ческий и гравиметрический.

Астрономо-геодезический метод основан на использовании измерений первых четырех видов из перечисленных выше. Он вклю­ чает несколько этапов: определение отсчетного эллипсоида, его ориентирование внутри Земли и определение положения геодези­ ческих пунктов относительно эллипсоида. Для этого метода ха­ рактерно раздельное определение плановых координат (широты

идолготы) и высоты.

Астрономо-геодезический метод или метод градусных измерений является старейшим методом определения поверхности Земли. Пер­ воначально этот метод заключался в измерении дуги S меридиана (рис. 1), на поверхности Земли и разности Αφ широт конечных точек этой дуги. Эти измерения позволяли найти радиус R Земли, т.е. радиус кри­ визны меридиана, по формуле

где Αφ - разность широт.

8

2

Рис. 1. Принцип градусных измерений: 1 и 2 - точки поверхности Земли, лежащие на одном меридиане, φ{ и φ2 - широты этих точек,

Αφ = ψ2 - (ft, S - длина дуги меридиана между ними, R - радиус сферической Земли

Первое исторически достоверное определение радиуса Земли выпол­ нено Эратосфеном Киренским (ок. 276-194 гг. до н.э.) в III веке до на­ шей эры по измерениям разности широт городов Александрии и Сиены (Ассуан), лежащих на одном меридиане. Для нахождения этой разности Эратосфен использовал наблюдения Солнца. Было известно, что в Сие­ не в день летнего солнцестояния в полдень Солнце находится в зените. С помощью солнечных часов Эратосфен измерил высоту Солнца в Алек­ сандрии в этот же момент и установил по длине тени, что зенитное рас­ стояние Солнца составляет 1/50 окружности или приблизительно 7° 12'. Расстояние между Сиеной и Александрией, т.е. длина дуги меридиана, оценена Эратосфеном по времени движения торговых караванов меж­ ду этими городами и скорости верблюда, отличающейся постоянностью. Таким образом, Эратосфен для линейных измерений использовал совре­ менный принцип, когда расстояние измеряют временем распростране­ ния периодических колебаний - равномерного шага верблюда в древ­ ности, электромагнитных колебаний сейчас. Впоследствии определения размеров Земли по измерениям длины дуги и соответствующего ей цен­ трального угла получили название градусных измерений, поскольку для нахождения радиуса Земли измеряли дугу меридиана, соответствующую разности широт в 1°. Эратосфен использовал дугу, соответствующую гораздо большей разности.

Спустя примерно тысячу лет после Эратосфена, в 827 г., весьма точно дугу меридиана измерили арабские ученые по приказанию баг­ дадского халифа Аль-Мамуна (786-833) (сына героя сказок «Тысячи и одной ночи» халифа Гарун аль-Рашида (763 или 766-809)). Заметим, что арабское измерение было буквально градусным, поскольку разность широт конечных точек дуги равнялась в точности одному градусу. Ара­ бы нашли для дуги меридиана протяженностью в 1° на широте 35° значение 111,8 км, что близко к точному (110,95 км). Радиус земного

9

шара по арабским измерениям составил в переводе на современные меры 6340 км. Таким образом, уже в древности размеры Земли были известны достаточно хорошо.

В1528 г. французский врач Жан Фернель (1497-1558) выполнил измерение дуги от Парижа до Амьена, соответствующей разности широт 1°22'55". Для измерения длины Фернель использовал счет обо­ ротов колеса экипажа, а разность широт нашел по измерениям высоты Солнца при прохождении его через меридиан. Дуга Фернеля позднее (1669-1670 г.) измерена с большей точностью французским ученым Жаном Пикаром (1620-1682).

Визмерении Пикара замечательны три обстоятельства: во-первых, Пикар впервые применил в градусных измерениях метод триангуляции для измерения длины дуги меридиана; во-вторых, определение Пикара было последним определением радиуса шарообразной Земли; в треть­ их, полученное Пикаром значение радиуса использовал Ньютон для проверки закона всемирного тяготения.

На широте φ радиус кривизны меридиана можно определить из вы­ ражения (2). Вычислив радиусы кривизны по формуле (1), из решения системы двух уравнений (2) находят полуось а и сжатие а

Для проверки гипотезы Ньютона о сплюснутости Земли Пикар соста­ вил проект градусного измерения, реализацию которого начал французс­ кий астроном Жан (Джан) Кассини (1625-1712) и завершил в 1718 г. его сын Жак Кассини (1677-1756). Были измерены две дуги Парижского меридиана: северная от Парижа до Дюнкерка с разностью широт 2°12' и южная от Парижа до Коллинпура протяженностью 6°19'.

Принцип определения сжатия Земли по градусным измерениям ил­ люстрирует рис. 2. Для сплюснутой Земли кривизна меридиана убыва­ ет в направлении с юга на север, что вызывает увеличение длины дуги

Рис. 2. К определению сжатия из градусных измерений: S { и S2 - дуги меридиана под средними широтами φ х

и φ 2 соответственно; R x - радиус кривизны меридиана на широте φ χ\ R2- то же для широты φ 2

10

в 1°, поэтому из сравнения дуг S { и S2, лежащих на разных широтах, можно оценить и размер эллипсоида и полярное сжатие. Согласно из­ мерениям Кассини, длина дуги меридиана к северу убывала, т.е. ока­ залось, что Земля вытянута вдоль полярной оси. Чтобы установить

две экспедиции. Одна из них под руководством Пьера Луи Мопертюи (1698-1759) измерила в 1736-37 гг. дугу протяженностью 57/30// в Лап­ ландии, на севере Скандинавии (на границе теперешних Швеции и Фин­ ляндии) под средней широтой 66° 19'. Вторая экспедиция, которой ру­ ководили Пьер Буге (1698-1758) и Шарль Лакондамин (1701-1774), продолжалась с 1735 по 1742 г. Она измерила дугу меридиана от 0°2,5' с.ш. до 3°4,5' ю.ш. в Перу, на территории нынешнего Эквадора. Результаты Великих Французских градусных измерений эксперименталь­ но подтвердили правоту Ньютона и дали правильное представление о сжатии Земли.

В 1792-1797 гг. в разгар Французской революции под руководством Жана Деламбра (1749-1822) проведено Большое Французское градус­ ное измерение, целью которого было установление новой единицы дли­ ны - метра. Дуга Деламбра протяженностью по широте 9°40' частично совпадает с дугой Кассини и пересекает всю Францию от Дюнкерка на берегу пролива Па-де-Кале до Барселоны на средиземноморском побе­ режье Испании. Так как средняя широта этой дуги равна 45°, измере­ ния Деламбра позволили найти четверть дуги парижского меридиана, не зависящую от размеров эллипсоида [14, с. 53)]. В качестве метра была принята 1/10 000 000 часть четверти дуги парижского меридиана.

Результаты Лапландской экспедиции (частично проведены заново в 1801 г. по поручению Шведской Академии Наук Енсом Сванбергом (1711-1851)) и измерения Деламбра дали для сжатия значение 1:300. Этот результат надолго стал общепринятым.

Позднее астрономо-геодезический метод использовали для опреде­ ления земного эллипсоида по измерениям не только дуг меридиана, но и дуг параллели. Градусное измерение вдоль параллели впервые выпол­ нил Кассини в 1734 г.

Методом градусных измерений были установлены отсчетные эллип­ соиды и созданы опорные геодезические сети разных стран. Последним выводом размеров и сжатия земного эллипсоида астрономо-геодезичес­ ким методом было определение Феодосия Николаевича Красовского (1878-1948) и Александра Александровича Изотова (1907-1988), завер­ шенное к 1940 г. Более подробные сведения о выводе этого эллипсоида - эллипсоида Красовского - и построении астрономо-геодезической сети нашей страны даны ниже.

Градусные измерения выявили отличие поверхности геоида от эллипсоида вращения и в течение долгого времени - с начала XIX до середины XX в. - использовались для изучения геоида.

11

Гравиметрический (или астрономо-гравиметрический) метод

также с давних пор применяют как для глобальных, так и для реги­ ональных исследований Земли. В этом методе основную роль игра­ ют измерения силы тяжести, геометрическое нивелирование и аст­ рономические определения. Глобальные исследования основаны на установленной еще Ньютоном зависимости силы тяжести от ши­ роты и знаменитой в геодезии теореме Алексиса Клода Клеро (1713— 1765), связывающей закон изменения силы тяжести на Земле с ее формой. Теорему Клеро можно записать тремя равенствами

p =a (l-a sin 2 φ)\

5ω2α

α+ β= —

2Уe

где р - радиус-вектор земного эллипсоида, у и уе- сила тяжести на поверхности эллипсоидальной модели Земли на широте φ и на эква­ торе соответственно; β - коэффициент, определяющий изменение силы тяжести с широтой; ω - угловая скорость вращения Земли.

Согласно равенствам (3), если отношение центробежной силы а?а к силе тяжести уе на экваторе известно, можно по измерениям силы тяжести найти коэффициент β и затем вычислить сжатие а по последнему из равенств (3). Однако размеры эллипсоида гра­ виметрический метод не определяет.

Впервые сжатие Земли на основании теоремы Клеро опреде­ лил Пьер Симон Лаплас (1749-1827) в 1799 г., использовав значе­ ния силы тяжести всего в 15 пунктах. Сжатие оказалось равным 1:330. Позднее (1901 г.) Фридрих Гельмерт (1843-1917) по 1603 пунктам нашел для сжатия значение 1:298,2, что удивительно точ­ но совпадает с современными определениями.

Началом гравиметрического метода детального исследования поверхности Земли можно считать 1849 г., когда английский фи­ зик Джордж Габриэль Стокс (1819-1903) получил формулу, опре­ деляющую высоту геоида над эллипсоидом по значениям силы тяжести на геоиде. Причем в решении Стокса предполагается, что геоид является внешней уровенной поверхностью Земли. Однако практическое применение формула Стокса получила только в на­ чале 30-х гг. XX в., когда появилось достаточное число измере­ ний силы тяжести. К этому же времени относятся интенсивные исследования условий применимости формулы Стокса к реальной Земле, геоид которой частично проходит внутри ее тела и над

12

ним возвышаются материки и острова. В результате этих иссле­ дований М.С.Молоденским в 1945 г. была доказана принципи­ альная невозможность определения геоида по измерениям на по­ верхности Земли и решена задача определения внешнего гравита­ ционного поля и физической поверхности. С этих пор задача определения геоида потеряла свое значение, а теория М.С.Молоденского - новая теория геодезии - применяется и в астрономо­ геодезическом и в гравиметрическом методах изучения Земли.

Вастрономо-гравиметрическом методе координаты пунктов

игравитационное поле определяют совместно. Причем плановые координаты, т.е. широты и долготы, получают по астрономичес­ ким наблюдениям и поправкам, учитывающим особенности гра­ витационного поля. Однако точность определения плановых ко­ ординат в этом методе значительно уступает точности астроно­ мо-геодезического метода.

Методы космической геодезии зародились во второй половине XVIII в. Прообразом геометрического метода космической геодезии

можно считать предложенный в 1768 г. Дж.А.Эйлером, сыном Ле­ онарда Эйлера, способ определения сжатия Земли по наблюдениям зенитного расстояния Луны. Динамический метод космической гео­ дезии впервые применил Лаплас, оценивший сжатие Земли по нера­ венствам в движениях Луны, т.е. по отклонениям наблюдаемого неравномерного движениях Луны от равномерных средних движе­ ний. Этим методом Лаплас получил для сжатия значение 1:305.

Современный этап космической геодезии начался в конце 50-х годов XX в., после запуска в СССР 4 октября 1957 г. первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). Уже в 1958 г. по наблюде­ ниям первых советских ИСЗ было получено сжатие Земли с точ­ ностью, значительно превышающей точность астрономо-геодези­ ческого метода.

Ныне основным методом космической геодезии является дина­ мический метод, позволяющий определять одновременно поверх­ ность и гравитационное поле Земли. В этом методе ИСЗ являются носителями координат и образуют подвижную систему опорных пунктов, координаты которых на любой момент времени известны в единой системе, задаваемой координатами сети пунктов, ведущих непрерывные наблюдения ИСЗ. Это позволяет по наблюдениям таких спутников получать координаты практически любой точки поверхности Земли. Гравитационное поле изучают по вариациям орбит ИСЗ. Поскольку над Землей детали гравитационного поля сглаживаются вследствие увеличения расстояния до неравномерно распределенных в ее теле притягивающих масс, наблюдения спут­

13

ников позволяют изучать общие особенности поля силы тяжести. Детальные исследования гравитационного поля на поверхности Земли надежнее выполняет гравиметрический метод.

Различают спутниковые абсолютные определения, когда на­ ходят координаты пунктов относительно центра масс Земли, и относительные спутниковые определения, при которых получают разности координат двух точек поверхности Земли. Точность аб­ солютных определений координат лимитирована точностью ко­ ординат ИСЗ, определенных динамическим методом. Точность спутниковых относительных определений превосходит точность астрономо-геодезического метода.

К методам космической геодезии относится также метод спут­ никовой альтиметрии, позволяющий непосредственно изучать по­ верхность океана по измерениям расстояния от ИСЗ, положение которого известно, до этой поверхности. Если отождествлять по­ верхность океана с уровенной, можно рассматривать метод спут­ никовой альтиметрии как метод изучения поверхности геоида.

Помимо наблюдений ИСЗ, в космической геодезии используют наблюдения искусственных и естественных небесных тел - косми­ ческих летательных аппаратов, Луны, квазаров1. Этими методами определяют массу Земли и изучают особенности ее вращения.

Поверхность Земли и внешнее гравитационное поле являются объектом изучения не только теоретической геодезии, но и тео­ рии фигуры Земли, геодезической гравиметрии, космической гео­ дезии. Роль того или иного вида измерений различна в отдельных дисциплинах и определяет их специфику и методы. В теории фи­ гуры Земли и геодезической гравиметрии основными являются измерения силы тяжести, геометрическое нивелирование и астро­ номические определения. Космическая геодезия основана на на­ блюдениях ИСЗ и космических объектов.

В теоретической геодезии используют первые четыре из пере­ численных выше видов измерений, т.е. теоретической геодезии принадлежит астрономо-геодезический метод. Но кроме этого теоретическая геодезия использует также и результаты, получен­ ные другими методами, и играет объединяющую, синтезирующую роль. Можно сказать, что теоретическая геодезия венчает здание геодезии, фундаментом которому служат астрономо-геодезический, гравиметрический и космическо-геодезический методы, и создает одно из этих оснований - астрономо-геодезический метод.

1Quasar (англ.) - quasi-stellar radiosource - квазизвездные источники ра­ диоизлучения.

Глава 1 ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ И СИЛА ТЯЖЕСТИ

Определение поверхности и гравитационного поля Земли ос­ новано на геодезических измерениях различных величин. Все они выполняются в поле силы тяжести, и во многих случаях результат определяется особенностями этого поля. Поэтому для понимания сущности выполненных в геодезии измерений и их правильной обработки необходимо иметь сведения об особенностях поля силы тяжести Земли. Не случайно в своей известной книге1 А.Клеро пишет: «Вопрос о фигуре Земли основан на законе действия силы тяжести».

§ 1. СИЛА ТЯЖЕСТИ И ЕЕ ПОТЕНЦИАЛ

Силой тяжести g называют равнодействующую силы притя­ жения единичной точечной массы Землей и центробежной силы, возникающей вследствие ее вращения вместе с Землей. На матери­ альную точку действует не только притяжение Земли, но и притя­ жение всех масс Вселенной, в основном Солнца, Луны и планет, а также притяжение атмосферы. Обычно влияние этих масс исклю­ чают из наблюдаемой величины силы тяжести g.

На поверхности Земли сила тяжести возрастает от 978 гал на экваторе до 983,2 гал на полюсе. Среднее значение силы тяжести на Земле составляет 979,8 гал.2

Сила тяжести имеет потенциал W, равный сумме потенциалов

1 Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростати­ ки. - М.: Издательство АН СССР, 1947. - 358 с.

2 1 гал = 1 см · с-2.

15

Напомним, что потенциалом вектора называют скалярную функцию координат, частные производные которой по любому направлению равны проекциям вектора на это направление. В произвольной прямоугольной системе координат связь силы тя­ жести и потенциала определяет выражение

где i , j , k - единичные векторы в направлениях осей координат. Таким образом, в соответствии с формулой (1.2) сила тяжести

является градиентом потенциала

Тело подвергается действию силы тяжести в том случае, если оно участвует в суточном вращении Земли. Поскольку не суще­ ствует точек, бесконечно удаленных от Земли и участвующих в ее вращении, область существования потенциала силы тяжести ог­ раничена.

Разность потенциалов силы тяжести в двух точках равна ра­ боте, совершаемой в поле силы тяжести при перемещении еди­ ничной массы между этими точками. При перемещении на беско­ нечно малое расстояние dl (рис. 1.1) работа определяется выраже­ нием

W + dW = С’

Рис. 1.1. К определению уровенной поверхности

16

Согласно этому выражению, изменение потенциала зависит от направления перемещения, и при смещении перпендикулярно на­ правлению силы тяжести это изменение равно нулю

где С - произвольная постоянная, равная значению потенциала в точке 1 (см. рис. 1.1). Равенство (1.6) - это уравнение поверхно­ сти, в каждой точке которой сила направлена по нормали к ней. Такая поверхность называется уровенной или эквипотенциальной. Согласно формуле (1.6), потенциал на уровенной поверхности постоянен. Уравнения (1.5) - (1.6) получены на основании выра­ жения (1.4) при условии cos(f,i//) = 0 без каких-либо предположе­ ний о поведении силы тяжести. Это означает, что сила тяжести на уровенной поверхности может изменяться.

Определим расстояние dh между бесконечно близкими уровенными поверхностями (см. рис. 1.1). Произведение cos(g,dl)dl является проекцией отрезка dl на направление силы тяжести. Будем отсчитывать расстояние dh в направлении возрастания

Сила тяжести по величине всегда ограничена, следовательно, расстояние между уровенными поверхностями не может равнять­ ся нулю. При перемещении вдоль уровенных поверхностей из-за изменения силы тяжести расстояние между ними меняется обрат­ но пропорционально модулю силы тяжести и уровенные поверх­ ности в общем случае не параллельны. Потенциал силы тяжести является функцией однозначной. Поэтому уровенные поверхнос­ ти не касаются и не пересекаются, и через каждую точку простран­ ства проходит только одна уровенная поверхность.

Уровенные поверхности поля силы тяжести имеют сложную форму, а их кривизна различна в разных точках одной и той же поверхности. В каждой точке поверхности кривизна различна в

17

разных направлениях. Средняя кривизна 1/р уровенной поверх­ ности в точке определяется выражением

где производные вычислены по касательным к уровенной поверх­ ности во взаимно перпендикулярных направлениях.

Нарисуем семейство уровенных поверхностей потенциала силы тяжести и проведем отрезки dh, перпендикулярные к каждым двум соседним бесконечно близким поверхностям (рис. 1.2).

В

Рис. 1.2. Уровенные поверхности (----- ) и силовая линия (.......... )

Очевидно, что направление dh совпадает с направлением силы

g . Пусть dh —>0, тогда в пределе получим кривую, проходящую перпендикулярно ко всем уровенным поверхностям, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением силы. Эта кривая называется силовой или векторной линией. Касательную к силовой линии называют отвесной линией.

Определим кривизну К силовой линии. Рассмотрим отрезок силовой линии между близкими точками 1 и 2 (см. рис. 1.2). В общем случае силовая линия - пространственная кривая, характе­ ризуемая кривизной и кручением. Но ее малые отрезки можно рассматривать как отрезки плоских кривых. Если считать на от­ резке 1-2 силовую линию дугой ds окружности радиуса р, кривиз-

18

£ - центральный угол, соответствующий дуге ds (рис. 1.3) . Про­ ведем касательные к силовой линии в точках 1 и 2. Их направле­ ния совпадут с векторами ^ и g2 силы тяжести в этих точках. Вектор Кп кривизны кривой - это производная единичного век­ тора τ касательной по s

где Я - единичный вектор главной нормали.

η 1

Выберем систему координат в произвольной точке силовой линии: ось z направим по направлению силы тяжести, оси х и у расположим в горизонтальной плоскости, ось х направлена на север, ось у - на восток. Запишем единичный вектор касательной

19

Выбор координат определяет значения производных

Выражение в скобках представляет собой горизонтальный гра­ диент G силы тяжести, поэтому кривизну силовой линии запи­ сывают также в виде

( M l )

g ’

Согласно равенству (1.10), силовая линия поля силы тяжести в общем случае является пространственной кривой. Она не лежит в плоскости меридиана или первого вертикала. Вектор ее кривизны согласно формуле (1.11) изменяется скачком в точках, где вторые производные потенциала терпят разрыв, т.е. там, где скачком ме­ няется плотность масс. В этих точках вектор кривизны меняет свой модуль и скачком поворачивается вокруг отвесной линии. В связи с этим ход силовой линии внутри Земли неизвестен.

Средний градиент силы тяжести, обусловленный изменением силы тяжести с широтой, не превосходит 0,8 мгл/км, поэтому модуль сред­ него вектора кривизны силовых линий не превышает 8 · 10-7км-1. Наи­ большую кривизну и, следовательно, наименьший радиус кривизны силовая линия имеет на широте 45°, где радиус кривизны составляет 1,2 млн. км. Средний вектор кривизны направлен в сторону ближай­ шего земного полюса. Реальный вектор кривизны не имеет какоголибо преимущественного направления, а его модуль может на одиндва порядка превосходить среднее значение.

Найдем длину h отрезка силовой линии между удаленными уровенными поверхностями, проходящими через точки А и В (см. рис. 1.2). Складывая элементарные расстояния (1.8), получим

( 1. 12)

20