Глава 4

АНОМАЛЬНОЕ ПОЛЕ.

УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА И АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

В главе 3 введено понятие аномального потенциала Т как раз­ ности потенциалов действительной и нормальной Земли

Этот потенциал образует аномальное гравитационное поле - разностное поле, возникающее из-за отличия поля реальной Земли от нормального. Наряду с аномальным потенциалом аномальное поле представляют и другие величины, используемые в геодезии. Рассмотрим некоторые из них.

§ 22. СВЯЗЬ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ С НАТУРАЛЬНОЙ

Натуральная система координат, описанная в § 8, связана с си­ ловыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормаль­ ной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, про­ ходящими через данный пункт. Так как нормальное поле не совпа­ дает с действительным, координаты в нормальном поле отличают­ ся от натуральных. Установим связь этих систем.

Рассмотрим рис. 4.1: Р - точка поверхности Земли, через ко­ торую проходит нормальная уровенная поверхность U = Up\ Up - нормальный потенциал в точке Р. Нормальное геопотенциальное число ио - Up точки Р в общем случае, конечно, не совпада­ ет с ее геопотенциальным числом W0 - Wp.

Установим связь нормального геопотенциального числа (U0-Up) с действительным (W0Wp). Напишем для потенциалов в точке Р

Wp = W0-(W 0-W J;

UP = U0 - (U0 - ир)

106

Р

Рис 4.1. К связи координат в реальном и нормальном поле

и образуем разность Wp - Up. Учитывая, что эта разность равна аномальному потенциалу Тр, найдем

Действительное и нормальное геопотенциальное число разли­ чаются на величину аномального потенциала в точке Р и разность WQU0потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.

Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным, и потенциал W0 на геоиде был бы равен потенциалу U0 на уровен­ ном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки Р тоже совпали бы. В действительности этого не про­ исходит. Однако на силовой линии PjP нормального поля, прохо­ дящей через точку Р, всегда найдется такая точка Р7, в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действи­ тельному

(4.3)

Причем, поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка Р7 будет расположена недалеко от точки Р.

Точка Р7 делит дугу Р{Р силовой линии на две части: отрезок PJP7OT эллипсоида до точки Р7и отрезок РФ. Первый из них опре­ деляет в нормальном поле высоту точки, в которой выполнено ус­ ловие (4.3). Если бы поле Земли совпало с нормальным, действи­

107

тельное геопотенциальное число было бы равно нормальному и точки Р и Р7 совпали. Поэтому отрезок нормальной силовой линии PJP7OT эллипсоида то точки Р7 называют нормальной высотой точ­ ки Р и обозначают Я 7; индекс у указывает на принадлежность к нормальному полю. Нормальная высота была бы равна геодези­ ческой, если бы поле Земли было нормальным.

Подчеркнем отличие высоты в нормальном поле и нормальной высоты. В § 19 высота в нормальном поле определена как отрезок PPj нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки Р (см. рис. 3.3 и 4.1). Она отличается от геодезической высоты толь­ ко из-за кривизны нормальной силовой линии; как показано в § 19, практически это отличие не ощутимо. Высота в нормальном поле - это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормаль­ ного поля от эллипсоида до любой точки Р, а нормальная высота - расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки Pj эллипсоида, но не до точки Р, а до точки Р7 в которой выполняется тождество (4.3).

Смысл нормальной высоты более понятен, если принять, что W0 = U0, т.е. считать действительный потенциал на геоиде равным нормальному потенциалу на эллипсоиде. Тогда нормальная высо­ та - это высота над эллипсоидом такой точки, в которой действи­ тельный потенциал равен нормальному,

W(B, U Н) = U(B9Я7),

где В, L, Н и В, Я7 - координаты точек Р и Р7 соответственно. Таким образом, отрезок ΡΨ = ζ появляется из-за несовпадения

действительного и нормального поля и является элементом ано­ мального поля. Его называют аномалией высоты.

Нормальная высота и аномалия высоты были введены М.С.Молоденским в 1945 г.

Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями нормального поля, проходящими через точки Р и Р7. Согласно формуле (3.80), полагая dU = Up - Upy и dHH = ζ,

где у - среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке ζ . Для получения аномалии высоты определим значения Up и Upy. Согласно выражению (4.1) в точке Р

(4.5)

U n = W p - T P<

108

а в точке Р7на основании тождества (4.3)

Поясним смысл этих формул: в точке Р физической поверхнос­ ти Земли нормальный потенциал отличается от действительного в этой же точке на величину аномального потенциала Тр, а в точке Р7 нормальный потенциал отличается от действительного потен­ циала в точке Р физической поверхности Земли из-за отличия по­ тенциалов на уровне моря и отсчетном эллипсоиде.

Вычитая выражение (4.5) из (4.6), находим разность нормаль­ ных потенциалов точек Р и Р7

Следовательно, если потенциал на уровенном эллипсоиде ра­ вен потенциалу на уровне моря W0=U0, то разность нормальных потенциалов в точках Р и Руравна аномальному потенциалу Тр.

Вернемся к равенству (4.2) и перепишем его в виде

(U0 - U p) - ( W 0 - W p) = T p - ( W 0- U 0).

Сравнивая это выражение с (4.7), убеждаемся, что разность нор­ мальных потенциалов в точках Р и Р7 равна разности нормального и действительного геопотенциального чисел.

Подставив формулу (4.7) в (4.4), находим для аномалии высоты

Эта формула устанавливает зависимость между аномалией вы­ соты и аномальным потенциалом в одной и той же точке земной поверхности. Ее называют обобщенной формулой Брунса (Г.Брунс, 1848-1919).

Согласно рис. 4.1, высота Нн = PjP равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты

Так как высота в нормальном поле практически совпадает с гео­ дезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот

Я = Я 7+ ^

109