Аналогичное выражение можно написать для коэффициентов Ьпк · Равенство (5.43) рассматривают как уравнение поправок, на­ писав его в виде

(5.44)

где / - свободный член, равный разности коэффициентов апк , по­ лученных по наземным и спутниковым измерениям, т.е.

N

(5.45)

Решая уравнения (5.44) по методу наименьших квадратов под условием

[pSa^+pSb^k] = mm,

находят поправки к средним значениям аномалий силы тяжести и спутниковым коэффициентам разложения.

В уравнении (5.44) коэффициенты начальных степеней, полу­ ченные спутниковым методом, можно считать безошибочными. Тогда неизвестными будут только поправки к значениям аномалий силы тяжести, а в правой части уравнения (5.44) будут стоять слу­ чайные ошибки коэффициентов.

§ 31. ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПОТЕНЦИАЛА. РЕЗУЛЬТАТЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ. СОВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Первое определение коэффициентов разложения аномалий силы тяжести и потенциала выполнено в 1886 г. профессором Московс­ кого университета Ф.А.Слудским (1841-1897). По 39 значениям силы тяжести Слудский нашел коэффициенты потенциала второй и тре­ тьей степени. Приведенные к современным нормированным функ­ циям коэффициенты Слудского даны в таблице 5.2.

Значения коэффициентов Слудского заметно (на порядок) боль­ ше современных. Однако эти определения позволили Слудскому сделать правильный вывод об общих особенностях поверхности геоида и утверждать, что на океанах геоид проходит в общем выше эллипсоида, а на континентах - ниже.

147

Т а б л и ц а 5.2

Нормированные коэффициенты потенциала (по Слудскому)

Вдальнейшем подобные вычисления выполняли неоднократно многие ученые. Большое значение в методическом отношении имело разложение, полученное в 1952 г. в Институте теоретической астро­ номии АН СССР астрономом и гравиметристом И.Д.Жонголови- чем(1892-1981). Им были получены коэффициенты разложения сме­ шанных аномалий до 8-й степени и порядка по 26 тысячам значений аномалий. Поверхность Земли в методе Жонголовича разделена на 410 равновеликих по площади трапеций, равных трапеции 10° х 10° на экваторе, а коэффициенты разложения аномалий получены по формуле, аналогичной (5.36), как средние из произведений осредненных на этих трапециях аномалий силы тяжести на средние для трапеции значения нормированных гармонических функций.

ВЦНИИГАиКе в 1955-1962 гг. под руководством Л.П.Пеллинена (1922-1992) получены коэффициенты разложения аномалий силы тяжести до 16-й степени и порядка. Для этого вывода исполь­ зованы аномалии силы тяжести в трапециях 1° х 1°. Так как к тому времени такие аномалии были известны только в 25% одноградус­ ных трапеций, основная сложность, как и в выводе Жонголовича, была связана с получением средних значений аномалий в неизучен­ ных районах. Большая полуось эллипсоида и координаты центра масс Земли были найдены с использованием формул (5.24) по раз­ ностям астрономо-геодезических и гравиметрических аномалий высоты и уклонений отвеса. Это позволило найти экваториаль­ ную постоянную уе и коэффициент β нормальной формулы и опре­ делить сжатие общего земного эллипсоида.

Для нахождения экваториальной постоянной Л.П.Пеллинен предло­ жил такой способ. Представим гравиметрическую аномалию силы тяже­ сти в виде

П

А?Г = а00 + Σ Α8" + Σ £« +

п=2 п=п+1

148

где а00-Ауе - поправка к принятому при вычислении аномалий g значе­ нию экваториальной постоянной уе, Sgr - ошибка вычисления, Agn- сфе­ рическая функция степени п в разложении аномалий. Найдем среднее значение аномалии силы тяжести, выполняя осреднение в круге радиуса /?у/. Пеллиненом установлено, что при выполнении условия

ослабляется, и можно принять для осредненных аномалий

1 > „ = 0. п +1

Сумму сферических гармоник до η = п можно получить по спутни­ ковым коэффициентам разложения

^ A g „=Agc

2

и затем представить осредненные аномалии в виде

д / = Ауе + A g c + V,

где у - суммарная ошибка гравиметрических и спутниковых аномалий. Последнее уравнение можно записать в виде уравнения погрешностей

Ауе+ (Agc - AgT ) = v,

в которых свободным членом является разность аномалий силы тяжести, полученных по спутниковым и гравиметрическим данным. Гравиметри­ ческие аномалии вычислены с осреднением в радиусе 20°.

Определение постоянной уе позволило уточнить массу Земли. Полученные постоянные получили название Параметры Земли

1962 г. (ПЗ-62).

Первые модели спутниковых коэффициентов разложения по­ явились в середине 60-х г. XX в. В Смитсоновской астрофизичес­ кой обсерватории (Smithsonian Astrophysical Observatory) США были созданы модели SAO SE (SE - Standard Earth), в университете штата Огайо (Ohio State University) - модели OSU. Ныне существует боль­ шое число моделей, полученных различными учреждениями.

Отметим некоторые модели, рекомендуемые как международ­ ные, а также модели, используемые в нашей стране.

149

Гравитационная модель мировой системы координат 1984 г. -

WGS-84 EGM (World Geodetic System i984 Earth Gravitational Model) Министерства обороны США. Эта модель получена с использова­ нием как спутниковых, так и наземных данных и содержит коэффи­ циенты разложения потенциала до 180-й степени и порядка.

Модели гравитационного поля общеземной системы координат

1990 г. ПЗ-90 (Параметры Земли 1990) Министерства обороны РФ:

-СТМ.320 - система 320 точечных масс;

-СТМ.60 - система 60 точечных масс;

-ГП3.36 - модель коэффициентов потенциала до 36-й степени

ипорядка (ГПЗ - Гравитационное доле Земли);

-ГП3.200 - модель коэффициентов до 200-й степени и порядка. Модели ПЗ-90 получены в результате использования спутни­

ков комплекса ГЕО-ИК (Геодезический Исследовательский Комп­ лекс) в период 1980-1990 г. и средних аномалий силы тяжести в трапециях 5°х5°.

Коэффициенты модели ГПЗ.200 найдены методом приближе­ ний. Для ее построения использована модель ГПЗ.36 и коэффици­ енты, полученные по аномалиям силы тяжести в одноградусных трапециях согласно выражению (5.35). Затем образованы разно­

Процесс повторялся, пока не было выполнено условие 5Ag( < 0,1 мгл. Коэффициенты потенциала до 36-й степени и порядка модели ГПЗ.200 равны коэффициентам спутниковой модели ΓΠ3-36.

Модель EGM-96 (Earth Gravitational Model 1996) получена совме­ стно как развитие серии моделей OSU Национальным агентством по аэронавтике и космическим исследованиям США (NASA) и Национальным картографическим агентством (National Imagery and Mapping Agency-NIMA) и в настоящее время по разным оценкам наиболее адекватно представляет внешнее гравитационное поле Земли. При ее выводе использованы как спутниковые, так и назем­ ные данные. Исходными данными при выводе модели EGM-96 слу­ жили три вида исходной информации:

- гравиметрические данные в виде результатов гравиметричес­ ких съемок на суше и в Мировом океане, представленные осредненными на трапециях 30' х 30' значениями аномалий силы тяжести;

150

-альтиметрические данные в виде средних аномалий силы тя­ жести для трапеций 3' х 3' и 30' х 30', вычисленных по спутнико­ вым альтиметрическим измерениям с ИСЗ «GEOSAT» и «ERS-1»;

-спутниковые орбитальные данные в виде системы коэффици­ ентов чисто спутниковых моделей потенциала, полученных из ана­ лиза возмущений орбит ИСЗ.

Из 259200 всех трапеций 30' х 30' для примерно 70 тыс. на кон­ тинентальную часть земного шара и 27 тыс. на акватории Миро­ вого океана средние аномалии получены по гравиметрическим на­ блюдениям, для 157 тыс. трапеций - по альтиметрическим данным.

Принцип определения аномалий силы тяжести по альтиметри­ ческим данным

Для расчетов используют формулы (рис. 5.3):

где ζ - высота над общим земным эллипсоидом; hU3M- высота ИСЗ над МТП; hebl4- вычисленная высота над общим земным эллипсои­ дом, Ah - сумма поправок в измерения.

ИСЗ

МТП

ОЗЭ

Рис. 5.3. Принцип определения аномалий силы тяжести с помощью спутниковой альтиметрии

Модель содержит коэффициенты до 360-й степени и порядка.

Модель ГАО-98.

В ЦНИИГАиКе получена серия моделей ГАО (Гравиметрия, Альтиметрия, Орбитальные данные). Эти модели предназначены для точного определения гравитационных характеристик на зем­ ной поверхности.

151

Исходными для модели ГАО-98 были те же данные, что и для модели EGM-96, частично исправленные для некоторых районов акватории Мирового океана; на территорию СССР использованы аномалии из каталога ЦНИИГАиКа.

Коэффициенты аномалий силы тяжести получены с использо­ ванием методики, описываемой формулами (5.43) - (5.45). Поправ­ ки введены как в исходные средние аномалии силы тяжести, так и в коэффициенты, полученные спутниковым методом. Модель содер­ жит коэффициенты до 360-й степени и порядка.

Сложность гравитационного поля Земли, неизбежные методи­ ческие и теоретические упрощения при выводе основных соотно­ шений, неполнота гравиметрической изученности Земли приводят к неизбежным ошибкам получаемых моделей и вызывают расхож­ дения коэффициентов даже начальных степеней. В таблице 5.3 при­ ведены коэффициенты до 4-й степени и порядка лучших современ­ ных моделей WGS-84 и EGM-96. Уже для п =4 расхождения коэффи­ циентов достигают 1%.

Сравнение различных моделей можно наглядно выполнить, ис­ пользуя степенные дисперсии потенциала или аномалий силы тя­ жести. Степенной дисперсией называют среднее квадратическое значение сферической функции степени п в разложении какой-либо функции. Например, для аномалии силы тяжести степенная дис­ персия имеет вид

ω

где ω - поверхность единичной сферы.

Подставив в это выражение сферическую функцию (5.34) и вы­ полнив интегрирование, для степенной дисперсии получаем

п

а , = Σ ( ^

т.е. степенная дисперсия равна сумме квадратов нормированных коэффициентов разложения. Степенные дисперсии аномалий силы тяжести указанных выше четырех моделей приведены в таблице 5.4. В последней строке этой таблицы даны средние квадратические значения аномалий силы тяжести (в миллигалах), вычисленные с учетом членов до п - 16. Заметим, что модель ГАО-98 заметно отли­ чается от остальных, поскольку она предназначена для вычисления элементов гравитационного поля на физической поверхности Зем­ ли и при ее выводе вводились поправки в полученные спутнико­ вым методом значения коэффициентов.

152

153

Согласно выражению (5.30), при выводе коэффициентов раз­ ложения возмущающего потенциала понятие уровенного эллип­ соида и его поля притяжения не используются; в (5.30) входит только одна постоянная - геоцентрическая гравитационная посто­ янная GM, а произвольная постоянная аевведена лишь для перехо­ да к безразмерным коэффициентам разложения. Однако для разло­ жения аномального потенциала, определяемого как разность по­ тенциалов силы тяжести Земли и уровенного эллипсоида, необходимо задать параметры Нормальной Земли, т.е. фундамен­ тальные геодезические постоянные. Некоторые результаты опре­ деления этих постоянных приведены в таблице 5.5. В первом стол­ бце этой таблице приведены параметры, полученные Л.П. Пелиненом в 1962 г.

Т а б л и ц а 5.5

Модели нормального поля

*Исключено приливное влияние.

Значение геоцентрической постоянной

GM = (398 600 441,8 ± 0,8) 106 MV 2,

выведенное к 1992 г., используют в настоящее время как исходный параметр во всех моделях нормальной Земли. Для среднего значе­ ния потенциала на поверхности моря коллективом специалистов

154

Чешской Республики и США1по результатам альтиметрии спут­ ника Топекс/Посейдон получено

W0 = (62 636 856,0 ± 0,5) м2*с 2.

Первичным постоянным и

J2= (1082 635,9 ± 0,1)10'9 (без постоянного прилива)

соответствуют такие значения производных параметров при угло­ вой скорости вращения ω = Ί 292 115 · КГис-1:

а = (6 378 136,696 ± 0,050) м,

R0 = — = (6363672,58 ± 0,05) м. ^ О

Для наглядного представления моделей гравитационного поля используют графическое изображение смещения уровенной повер­ хности, вызванное аномальным потенциалом. Подставим в разло­ жение аномального потенциала радиус-вектор г поверхности выб­ ранного эллипсоида и примем U0-W 0, тогда для смещения ^ уро­ венной поверхности получим

УГУ n=2\r ) k=0

где γ - среднее значение силы тяжести на поверхности эллипсоида. Величины ^ приближенно оценивают высоты геоида над эллипсо­ идом.

На рис. 5.4. приведена карта высот ^ над эллипсоидом WGS-84, параметры которого приведены в таблице 3.1. В системе WGS-84 номинально использован эллипсоид ГРС-80. Однако после норми­ рования зонального коэффициента J2 коэффициент с20 получен с округлением, вследствие этого эллипсоид WGS-84 незначительно отличается от эллипсоида ГРС-80.

Карта построена с удержанием гармоник до п - к - 18. Ограни­ чение ряда (5.47) соответствует осреднению высот ζ*, причем раз-

1 Бурша М , Ватрт В., Коуба Я. и др. Определение общего земного эл­ липсоида при условии В.В.Бровара (Доклад на научном семинаре, посвящен­ ном 80-летию Л.П.Пеллинена). Геодезия и картография. - 2002, № 11, С. 6-9.

155

156

Рис. 5.4. Высоты геоида над эллипсоидом WGS-84. Исключены коэффициенты нормального потенциала до п = 10. Учтены гармоники до п - к - 18. Сечение 10 м