ошибка τηΑϋ разности Α ϋ астрономо-геодезических и гравиметри­ ческих уклонений

= V(0,22')2+(0,58')2 = 0,62'.

Ошибка передачи аномалии высоты на расстояние L согласно выражению (8.48) составит

и при / = 100 км L = 10 000 км получим ηΐς= 3,0 м, значит аномалии высоты определяются с точностью, удовлетворяющей целям реду­ цирования на всей территории России.

Формулу (8.50) записывают обычно в виде

где μ - ошибка на 1 километр хода.

Согласно априорной оценке μ = 3,2 см/ JKM , поэтому

и при L = 10 000 км »ir = 3,2 м, что совпадает с оценкой по формуле (8.50).

Сопоставляя оценки (8.39) и (8.52), убеждаемся, что косвенная интерполяция астрономо-геодезических уклонений отвеса уменьша­ ет ошибку передачи аномалии высоты по крайней мере в три раза.

§ 53. СВЯЗЬ ПРИРАЩЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ВЫСОТЫ, НОРМАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ И АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

В главе 2 получена формула (2.33), связывающая разность гео­ дезических высот с превышением. Запишем ее в виде

dH= dh - Λ / .

В эту формулу входит астрономо-геодезическое уклонение от­ веса РАГв геометрическом определении, т.е. составляющая угла между нормалью к эллипсоиду и отвесной линией.

247

Геодезическая высота равна сумме нормальной высоты и ано­ малии высоты.

Дифференцируя формулу (7.17) геодезической высоты, получим

dH = dH7+ ά ζ .

Согласно равенству (7.35) разность нормальных высот связана с нивелирным превышением dh, а разность аномалий высоты опре­ деляет формула (8.7).

Разности нормальных высот и аномалий высоты содержат ве­ личины, связанные с гравитационным полем (аномалия силы тяже­ сти, уклонение отвеса, нормальная сила тяжести); разность геоде­ зических высот с гравитационным полем не связана.

Преобразуем формулу для dH7. Используя выражение (3.65), на­ пишем

άΥο=βγβsin2Z? dB,

в последнем члене принято уе = ут. Согласно формуле (3.77) произ­ ведение ΗΎβ sin2B равно Re, ε - угол между нормалью к эллипсоиду и силовой линией нормального поля. Произведение RdB - это эле­ ментарная дуга меридиана,

RdB = dl cosA.

Поэтому разность нормальных высот можно записать в виде

Но согласно формуле (4.15 ) угол ecosA + ϋ является составля­ ющей ϋ*Γ астрономо-геодезического уклонения отвеса в геометри­ ческом определении, поэтому

248

Таким образом, из суммы άΗΎ+ άζ влияние гравитационного поля исключается, а формула (8.54) является формулой астрономи­ ческого нивелирования физической поверхности Земли. Значит, физическая поверхность Земли определяется только геометричес­ кими элементами.

Формулы (8.7), (8.53) и (8.54) поясняют невозможность нахож­ дения нормальной высоты по измерениям геодезической высоты без информации о гравитационном поле. В равенстве (7.17) геоде­ зическая высота определяется только выбором отсчетного эллип­ соида. Нормальная высота связана с разностью потенциалов (геопотенциальным числом) и не зависит от выбора эллипсоида, а ано­ малия высоты зависит как от выбора эллипсоида, так и от гравитационного поля.

§ 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗНОСТИ НОРМАЛЬНЫХ ВЫСОТ ПО СПУТНИКОВЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ. (АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ ТЕЛЛУРОИДА)

Представим измеренную спутниковым относительным методом разность НВ- Н А геодезических высот согласно формуле (7.17) в виде суммы приращений Я 7^ - НУА нормальных высот и астроно­ мо-геодезических аномалий высоты ζ ΓΒ- ζ ΑΓΑ:

Разность нормальных высот тогда можно получить таким об­ разом

Входящую сюда разность (ζΑΓΒ - ζΑΓΛ) астрономо-геодезичес­ ких аномалий высоты можно найти методами астрономического или астрономо-гравиметрического нивелирования. В случае аст­ рономического нивелирования имеем для разности аномалий вы­ соты формулу (8.35), поэтому

(8.56)

AB

Применим астрономо-гравиметрическое нивелирование, ис­ пользовав метод Остача (8.44)

249

Это - формула астрономо-гравиметрического нивелирования нор­ мальных высот или астрономо-гравиметрического нивелирования теллуроида. Отличие этой формулы от (8.47) астрономо-гравимет­ рического нивелирования разности аномалий высоты в том, что здесь разности Αζ астрономо-геодезических и местных гравимет­ рических аномалий высоты получают не по уклонениям отвесной линии, а вычисляют непосредственно для пунктов нивелирной сети, совмещенных с пунктами спутниковых наблюдений. То есть вмес­ то формулы (8.46) нужно использовать равенство

(ΑζΒ - ΑζΑ) = HB - H A - ( r f B - r f A ) - (ζΣΒ - ζΣΛ). (8.58)

Разность (ΑζΒ - ΑζΑ) астрономо-геодезической и местной гра­ виметрической аномалий высот пунктов, не являющихся пунктами нивелирной сети, можно получить интерполированием.

Таким образом, мы рассмотрели такие виды нивелирования:

а) астрономическое нивелирование:

астрономическое нивелирование физической поверхности Зем­ ли (формула (7.6));

астрономическое нивелирование поверхности геоида или лю­ бой уровенной поверхности (формула (8.34));

астрономическое нивелирование теллуроида (8.56); (Формулы (7.6) и (8.56) в сумме дают формулу (7.36), если учесть

связь уклонения отвеса в физическом и гравиметрическом опреде­ лении.)

б) астрономо-гравиметрическое нивелирование:

определение разности аномалий высоты методом Молоденского (формула 8.42));

определение разности аномалий высоты методом Остача (фор­ мула (8.41);

определение разности нормальных высот (формула 8.57)).

В астрономо-гравиметрическом нивелировании нормальных высот классические астрономические определения широты и дол­ готы заменены астрономическими наблюдениями ИСЗ.

Разности аномалий высоты в классическом астрономо-грави­ метрическом нивелировании или разности нормальных высот в спутниковом астрономо-гравиметрическом нивелировании можно найти только для тех пунктов, на которых выполнены и астроно­ мические и геодезические измерения. Для всех остальных пунктов астрономо-геодезические аномалии высот нужно определять ин­ терполированием.

250

§ 55. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ АСТРОНОМО­ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

Интерполирование астрономо-геодезических аномалий высо­ ты на промежуточные пункты выполняют методом косвенной ин­ терполяции, аналогичным методу косвенной интерполяции укло­ нений отвеса. Плавную составляющую Αζ аномалии высоты ли­ нейно интерполируют между пунктами с известными значениями аномалии высоты и затем добавляют к местной гравиметрической аномалии высоты.

Косвенная интерполяция астрономо-геодезических аномалий высоты широко применялась при обработке астрономо-геодези­ ческой сети СССР [25]. В этом случае опорными являлись астро­ пункты, входящие в линии астрономо-гравиметрического нивели­ рования. Для всех астропунктов составляли разности

Α ζ = ζ - ζ Σ

астрономо-геодезических ζ и местных гравиметрических ζΣанома­ лий высоты. Внутри полигона АГН эти разности интерполирова­ ли на пункты астрономо-геодезической сети и затем прибавляли интерполированные разности к гравиметрическим аномали­ ям высоты

Так были получены астрономо-геодезические аномалии высоты для всех пунктов АТС СССР. Карта аномалий высоты на террито­ рию СССР, полученных по результатам астрономо-гравиметричес­ кого нивелирования и косвенной интерполяции аномалий высоты с использованием 2897 астропунктов, представлена на рис. 8.3.

Как видно, аномалии высоты на большей части СССР не пре­ вышают по абсолютной величине 10 м. В северо-восточной части страны (Чукотка) аномалии высоты убывают до -30 + -40 м, в юговосточной части они возрастают до 40-50 м. В целом эллипсоид Красовского хорошо представляет геоид на территории СССР.

Ошибки аномалий высот относительно Пулкова не превышают 1 м и только в наиболее удаленных северо-восточных районах (Чукотка, Камчатка) возрастают до 1,5 м.

Косвенная интерполяция аномалий высоты в спутниковом ме­ тоде выполняется аналогично. Отличие только в способе получе­ ния опорных разностей, получаемых в этом случае по формуле

251

252

Рис. 8.3. Карта аномалий высоты

После нахождения интерполированных разностей ΔζΜίηι в оп­ ределяемых пунктах можно найти интерполированные астрономо­ геодезические аномалии высоты

и, если геодезические высоты Н известны, получить нормальные высоты любых пунктов спутниковых определений, не выполняя геометрического нивелирования,

ти геометрического нивелирования.

Покажем, что современная изученность гравитационного поля позволяет получить местные гравиметрические аномалии высоты с точностью порядка миллиметров. Для плоской отсчетной поверх­ ности формула Стокса (4.39) имеет вид

(8.63)

2 /r/J г

или, введя сюда известное выражение <£L= rdrdA элемента поверх­ ности в полярной системе координат,

2πΥ A=0 r=О

Применим метод численного интегрирования. Разделим область Σ интегрирования - круг радиуса Ry/0 - на п кольцевых зон равной ширины Аг, а каждую зону на /,· секторов с разностью азимутов АА =2π//,· (рис. 8.4). Тогда для аномалии высоты получим

где gik - средняя аномалия силы тяжести на трапеции, ограничен­ ной соседними окружностями и радиусами.

253

Рис. 8.4. К точности вычисления аномалии высоты

Введем выражение ΔΑ и вынесем за знак суммы г

Оценим точность вычисления по этой формуле. Для ошибки ηΐζ аномалии высоты имеем

Кольцевую зону разобьем на криволинейные по возможности равносторонние трапеции. Число /, трапеций в зоне с номером i составит

”г

где (rm)i - средний радиус кольцевой зоны.

Ошибку mAg средней аномалии во всех трапециях считаем одинаковой. Теперь для ошибки тζ вычисления аномалии высоты найдем

ч !/2

тг =■Arm'А?

i=1 2 / - 1

254

Число п кольцевых зон равно Лу/уАг. Если область интегриро­ вания разбита на 15-20 зон, можно принять

Для применения метода косвенной интерполяции нужно уста­ новить радиус Ry/0 области учитываемых аномалий силы тяжести (радиус ближних зон), гарантирующий линейное изменение вели­ чины Δζ на всей площади интерполирования. Оценим этот радиус, используя подход М.С.Молоденского [20].

Пусть нужно выполнить интерполирование астрономо-геоде­ зических аномалий высоты в круговой области σ радиуса р с цент­ ром в точке О (рис. 8.5). Используя формулу (8.63) Стокса для плос­ кой отсчетной поверхности, запишем для разности влияния даль­ них зон Σ' на аномалии высоты в точках Р на краю и О в центре круговой области

где Гу г - расстояния от точек Р и О до текущей точки Q области Σ'.

Рис. 8.5. Косвенная интерполяция аномалий высоты

255

Из треугольника OPQ можно получить

1

(8.65)

где Pn(cosa) - полином Лежандра; а - угол между радиусами-векто­ рами точки Р и текущей точки Q области Σ'. Выделим в этом ряду первые два члена, тогда

С помощью этого выражения напишем разность аномалий в виде

ζ ρ ~ ζο = 2 ^ [ Aglr2 COS^ '+2^1M | ^ {Cosfl}№·

При линейном интерполировании первый член правой части, пропорциональный р, будет учтен, а второй составит ошибку δ интерполирования. Оценим эту ошибку, ограничиваясь учетом только члена, содержащего расстояние р во второй степени,

δ = Ρ_ (^ .p (C0sa)dl'.

2πγ J г3

Элемент dL' поверхности Σ' в полярных координатах г,а имеет вид dL' = rdrda, поэтому

Оценим предельное значение интеграла по а. Используя извес­ тное неравенство, получим

256