ниям в изолированных сетях нельзя получить геопотенциальные числа для всей Земли в единой системе. Чтобы подчеркнуть это, говорят, что на данной территории развита система высот от определенного футштока. Так, в СССР была создана Балтий­ ская система высот, в которой исходным пунктом служит Крон­ штадтский футшток. Здесь термин «система» имеет иной смысл по сравнению с вышеизложенным и устанавливает не тип высот (нормальная, ортометрическая, динамическая), а ту уровенную поверхность, относительно которой вычисляют разности потен­ циалов.

Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах (Швеция, Германия, Франция и др.). Ортометрические высоты по Гельмерту используют многие европейские страны, Турция и страны Американского континен­ та. В Австрии, Боснии и Герцеговине, Норвегии, Югославии при­ няты нормально-ортометрические высоты.

В случаях, когда высоты определены с не очень высокой точ­ ностью, все высоты, кроме геодезической, называют высотами над уровнем моря, или абсолютными высотами, а разность высот -

относительными высотами. Это аналогично названию координат: приближенно все координаты (астрономические, геодезические, геоцентрические) называют географическими.

Численное значение любой высоты называют отметкой.

§ 45. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗНОСТИ НОРМАЛЬНЫХ ВЫСОТ

Для вычисления нормальных высот формула (7.15) не всегда удобна, поскольку из измерений получают не геопотенциальное число W0 - W, а разность геопотенциальных чисел, которую на­ ходят из геометрического нивелирования и гравиметрических оп­ ределений. На практике обычно вычисляют разности нормальных высот между реперами, добавляя необходимые поправки к сумме измеренных превышений. Методика вычисления разности нор­ мальных высот разработана В.Ф.Еремеевым. Получим необходи­ мую для таких вычислений формулу.

Найдем элементарную разность dHy нормальных высот, диф­ ференцируя выражение (7.15),

dHY = — g d h - ^ H Y. ϊη, Ут

218

Нормальную силу тяжести ут вычисляем по формуле (7.16), у - по аналогичной

Для элементарной разности нормальных высот теперь полу­ чаем

dH y = d h - —t £- H y + ^ - d h + άΎ И Г (d h - d H Y).

У т У т d H 2 /m

Последний член этого выражения не превышает 0,004 мм даже для Н - 10 км и g - у = 500 млг, поэтому с достаточной точнос­ тью можно положить

Интегрируя выражение (7.35), получаем разность нормальных высот между удаленными точками

Второй член в правой части равенства (7.36) учитывает на­ клон уровенных поверхностей нормального поля к поверхности эллипсоида, третий - несовпадение уровенных поверхностей ре­ ального и нормального поля. Сумму первых двух членов называ­ ют приближенной высотой; для ее нахождения достаточно выпол­ нить геометрическое нивелирование и учесть влияние непараллель­ ное™ нормальных уровенных поверхностей. Для перехода от измеренных превышений к разности нормальных высот нужно знать, строго говоря, аномалии в свободном воздухе в каждой

219

точке нивелирного хода. Так как нивелирные линии прокладыва­ ют по возможности по трассам с малыми уклонами, превышение dh обычно невелико и можно использовать аномалии силы тяже­ сти, осредненные на каком-либо интервале нивелирной линии. Ча­ стота гравиметрических пунктов вдоль нивелирной линии зави­ сит от сложности гравитационного поля, величины превышений и точности нивелирования.

Оценим точность вычисления поправки σ = [——^ dh в зави-

J у

симости от точности вычисления аномалии силы тяжести. Заме­ нив интеграл суммой, для ошибки πισ поправки а получим

Пусть нивелирная линия состоит из п участков, на каждом из которых получена аномалия g - у, длина s участков одинакова, превышение Ah заменим произведением stg>8, где β - средний угол наклона.

Тогда, полагая угол наклона и ошибку аномалии одинаковы­ ми на всех участках, получим

(7.37)

где L - ns - длина линии.

Случайную ошибку геометрического нивелирования выража­

где η - ошибка на 1 км хода.

Потребуем, чтобы ошибка тс поправки σ была меньше слу­ чайной ошибки нивелирования. Тогда из сравнения выражений

Под ошибкой аномалии будем понимать ошибку интерпо­ ляции по гравиметрической карте. Ошибка интерполяции в раз­ личных районах Земли неодинакова, поэтому выполним при­

220

ближенную оценку влияния ошибок аномалий силы тяжести на точность нивелирования. Для ошибки интерполяции Ю.М. Ней­ ман (МИИГАиК) получил выражение

используя которое можно записать такое условие для расстояния между гравиметрическими пунктами

ssn с Зг?^2уЮ"6

(7.41)

jD tgfi

В выражениях (7.40) - (7.41) D - дисперсия аномалий силы тяжести; d - расстояние корреляции. В формуле (7.41) η выраже­ но в M M / V K M ; d и s - в километрах. Результат оценки по формуле (7.41) для разных районов при характерных значениях D и d дает таблица 7.2. Согласно этой оценке, в горных районах гравимет­ рические пункты должны располагаться с интервалами 1-2 км для нивелирования высокой точности, поэтому вдоль нивелирных ли­ ний приходится выполнять измерения силы тяжести. В холмис­ тых и равнинных районах можно получать аномалии силы тяже­ сти по гравиметрическим картам.

Оценка необходимой частоты расположения гравиметричес­ ких пунктов вдоль нивелирных линий выполнялась неоднократно разными авторами. Для примера в таблице 7.3 приведены сведе­ ния о частоте гравиметрических пунктов, рекомендуемой по ис­ следованиям ЦНИИГАиКа при выполнении высокоточного ни­ велирования в горных районах. Согласно этим рекомендациям в высокогорном районе при нивелировании II класса также необ­ ходимо измерять силу тяжести через 1-2 км; увеличение расстоя­ ния между гравиметрическими пунктами до 4—6 км возможно при уменьшении значения tg/З до 0,1-0,04.

221

Примечание. Длина секции 5 км.

Вернемся к формуле (7.36). Поскольку поправки в измеренное превышение малы, можно заменить высоту Η Ύв текущей точке средней высотой Н17ср между реперами и использовать среднее зна­ чение ут силы тяжести для всей секции. Заменяя дифференциалы конечными разностями, получим формулу для вычисления разно­ сти нормальных высот между реперами Р и Q

_^L у Р _уЯ ( σ — у) О-

По этой формуле можно оценить изменение нормальной вы­ соты при перемещении по уровенной поверхности. В этом случае

сумма Σ h превышений равна нулю и

р

нг_нг=11^Ащр (7 .43)

Ут

Согласно выражению (7.43) при Н = 1 км и разности широт 1° разность нормальных высот точек уровенной поверхности на широте 45° составляет 92 мм. Нормальные высоты водной повер­ хности озер, вытянутых в меридиональном направлении, изменя­ ются. Так, разность высот южной и северной точек озера Байкал составляет 175 мм, озер Севан и Иссык-Куль - около 75 мм. Эти величины примерно на порядок превышают ошибки точного ни­ велирования.

Теоретическая сумма превышений в замкнутом нивелирном по­ лигоне. Вследствие непараллельное™ уровенных поверхностей сум­ ма превышений зависит от пути нивелирования и в замкнутом полигоне не будет равна нулю. Получим выражение для суммы

222