Отметим некоторые отличия спутниковой и астрономо-геоде­ зической сетей. Астрономо-геодезическая сеть создается в течение длительного времени по результатам наземных астрономических, гравиметрических, геодезических измерений, выполняемых в есте­ ственной системе координат φ, X,W0 -W . При обработке результа­ тов наземных измерений обычно используют геодезическую эллип­ соидальную систему координат В, L, Я, связанную с отсчетным ре- ференц-эллипсоидом, центр которого не совмещен с центром масс Земли. АГС обеспечивает высокую точность взаимного положе­ ния пунктов, но в общем случае не имеет данных для установления как взаимных связей между изолированными участками, так и для отнесения их к общеземной системе координат.

Спутниковая сеть создается в короткие сроки по результатам наблюдений ИСЗ или космических объектов. При обработке спут­ никовой сети не используется какая-либо отсчетная поверхность и положение пунктов этой сети определяют в общеземной простран­ ственной прямоугольной геоцентрической системе координат X , У, Z, не связанной с геометрией поля силы тяжести Земли. Геодези­ ческую сеть, построенную с максимальной точностью методами кос­ мической геодезии, можно рассматривать как сеть некоторого «ну­ левого» класса, являющуюся исходной по отношению ко всем дру­ гим геодезическим построениям. Дальнейшее ее сгущение возможно различными методами как спутниковыми, так и наземными. При этом возникает задача объединения сетей, построенных разными способами, и совместной их обработки.

§ 60. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ В ГОСУДАРСТВЕННОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ

При полигональном построении сети 1 класса основным эле­ ментом является звено триангуляции, а стороной полигона счита­ ют длину L геодезической линии (замыкающую звена), соединяю­ щей проекции его конечных пунктов на эллипсоид. В звене триан­ гуляции измеряют углы всех треугольников или иных фигур, его образующих, а на концах звена - базисы Ьхи Ь2 и астрономические азимуты а х и с^. Из самостоятельной обработки (уравнивания) отдельного звена получают разность координат его конечных пун­ ктов или длину и азимут замыкающей геодезической линии. Точ­ ность этих величин определяется точностью измерения базисов, углов и азимутов.

Смещение конечного пункта звена характеризуют составляю­ щими вдоль замыкающей (продольный сдвиг pik) и в поперечном к

283

звену направлении (поперечный сдвиг qik). Продольный сдвиг яв­ ляется следствием ошибок измерений базиса и связующих углов, а поперечный - ошибок азимутов и промежуточных углов, поэтому продольный и поперечный сдвиг звена независимы и, следователь­ но, длину и азимут замыкающей геодезической линии можно рас­ сматривать как непосредственно измеренные величины. Независи­ мость продольного и поперечного сдвига обеспечивает независи­ мость приращений Ах, Ау координат одного звена. В самом деле, представим ошибки dAx, dAy приращений координат в виде

dAx =pcosa - gsina,

dAy = psina + qcosa,

где a - азимут замыкающей. Обозначим

тогда

δχ = Δφ,

а ковариационная матрица М этого вектора будет

М(ЬхЬхг) - АВрАт,

где Вр - ковариационная матрица вектора ф

Так как р и q независимы и имеют по предположению одинако-

Таким образом, ошибки приращения координат независимы. Оценим продольный и поперечный сдвиги звена и зависимость ошибок приращений координат соседних звеньев, используя коор­ динатные невязки полигонов. Оценка точности измерений в три­

284

ангуляции 1 класса выполнена в ЦНИИГАиКе Анатолием Захаро­ вичем Сазоновым (1929-1999)1.

Рассмотрим три полигона с общим узловым пунктом О (рис. 9.3). Выберем полигоны, стороны которых ориентированы по меридиа­ ну и параллели параллельно осям X и У. Возможны три варианта взаимного положения полигонов: они могут иметь общую сторону, ориентированную по меридиану (полигоны I и II), общую сторону, ориентированную по параллели (полигоны II и III) или общую вер­ шину (полигоны I и III). Выразим координатные невязки W# Wy че­ рез продольные и поперечные сдвиги звеньев:

Невязки составлены при обходе каждого полигона по ходу ча­ совой стрелки, индексы внизу соответствующих величин означают номера полигонов и их сторон (номера указаны на рис. 9.3).

Рис. 9.3. Схема полигонов с общим узловым пунктом

1 Сазонов АЗ. Точность элементов астрономо-геодезической сети СССР//

Геодезия и картография, 1969. - № 5. - С. 3-5.

285

Образуем квадраты и произведения невязок. Они будут содер­ жать квадраты продольного и поперечного сдвигов, произведения одноименных сдвигов соседних звеньев, а также произведения про­ дольных и поперечных сдвигов и одноименных сдвигов звеньев, не имеющих общих узлов. Найдем средние значения квадратов и про­ изведений невязок всех полигонов сети, имеющих показанное на рис. 9.3 взаимное расположение.

Введем обозначения:

для дисперсии продольного и поперечного сдвигов

(9.2)

для ковариации произведения одноименных сдвигов смежных зве­ ньев i и i + 1

(9.3)

для ковариации произведений одноименных сдвигов не связанных звеньев

для взаимной ковариации продольного и поперечного сдвигов, где п - число соответствующих произведений

Ковариации (9.4) равны нулю как ковариации независимых случайных величин. Условие (9.5) является приближенным.

Выполняя преобразования формул (9.1) и учитывая выраже­ ния (9.2) - (9.5), находим для дисперсий

(9.6)

286

Равенства (9.7) позволяют определить ковариации. Сложив два последних выражения (9.7), найдем

Согласно этому выражению, ковариацию продольного сдвига соседних звеньев можно найти по сумме координатных невязок полигонов, имеющих одну общую вершину и ориентированные по меридиану и параллели стороны.

Образуем разность двух последних выражений (9.7). Тогда

Следовательно, ковариацию продольного сдвига можно оп­ ределить по разностям невязок тех же полигонов. По 186 узлам А.З. Сазоновым получены такие значения

соу(з д ,-+1) = 0,324 м2.

Оценка дисперсий Dpf Dq продольного и поперечного сдвига получена по двум первым из равенств (9.7) с использованием кова­ риации (9.10) и произведения невязок полигонов, имеющих общие стороны, ориентированные по меридиану или параллели. Оценка

287

по 75 парам полигонов с общей меридиональной стороной и 72 парам полигонов с общей стороной по параллели дала значения

Dp = 0,288 м2, Dq = 0,888 м2, со\{pq) = -0,084 м2. (9.11)

Дисперсия поперечного сдвига существенно больше, чем про­ дольного. Взаимная ковариация продольного и поперечного сдви­ га мала, что подтверждает независимость продольного и попереч­ ного сдвига и обоснованность предположения (9.5). Сумма дис­ персий продольного и поперечного сдвига составила 1,176 м2.

Согласно (9.11) средний квадратический продольный сдвиг

(p = ^D~p) звена триангуляции 1 класса составил 0,54 м, попереч­ ный (q = ) - 0,94 м, суммарное смещение конечной точки звена относительно начальной, равное у]ор +Dq , -1,08 м.

Суммарная дисперсия продольного и поперечного сдвига оце­ нена также по формуле (9.6) с использованием координатных невя­ зок полигонов, близких по форме к квадратам со сторонами, ори­ ентированными по меридиану и параллели

Dp + Dq = = !’26м2’

U2 μ.

Если считать соотношение дисперсий таким же, как в выраже­ нии (9.11), то

Оценка дисперсий по формулам (9.11) и (9.12) практически оди­ накова. Согласно равенству (9.12) средний квадратический продоль­

Приведем общие оценки дисперсий и ковариаций продольного и поперечного сдвигов триангуляции I класса АГС СССР:

288

Ошибки измерения базисов и азимутов найдены по невяз­ кам базисных и азимутальных условий. Запишем невязку Wb ба­ зисного условия для двух сторон 1-2 и 2-3, имеющих общий базис (рис. 9.4),

где АЬ - ошибка измерения базиса b\ w(u) - влияние ошибок изме­ рения углов на базисную невязку, к - коэффициент.

Дисперсия продольного сдвига, вызванного ошибкой измере­ ния базиса,

Если исключить Dbp из дисперсии продольного сдвига, то будет выделено влияние ошибок измерения углов на продольный сдвиг

289

Оценим влияние ошибок измерения азимута. Для смежных сто­ рон получим аналогично невязки азимутальных условий

W**j_ 2 = Δα2 - Δα! + w(u),

W**2 -3 = Δα3 - Δθ2 + VV(M),

где w(u) - влияние ошибок угловых измерений на азимутальную невязку.

Для дисперсии азимутальной невязки найдем

α , = - п- Σ ^ “* £ ι·

Отсюда для влияния ошибок азимутальных определений на поперечный сдвиг имеем

D“ = - \D aL \

а для влияния ошибок угловых измерений на поперечный сдвиг найдем

Результаты оценки качества измерений в триангуляции 1 клас­ са представлены в таблице 9.1. Сведения о точности угловых изме­ рений в астрономо-геодезической сети приведены на с. 299.

290

длины звена 200 км соответствует точности 5 · 10"6.

Установлена значительная корреляция ошибок соседних звень­ ев -0,28 для продольного сдвига и 0,35 для поперечного.

Точность измерений в космической геодезической сети харак­ теризуют такие оценки:

-ошибка измерения расстояния от пункта наблюдения до спутника 1-2 м;

-ошибка радиальной скорости движения спутника 1 см/с;

-ошибка измерения высоты спутника над морской топогра­ фической поверхностью менее 1 м;

-ошибка измерения направления на ИСЗ Г'.

Положение пунктов КГС относительно центра масс Земли оп­ ределено с ошибкой около 2 м. Средние квадратические ошибки определения взаимного положения пунктов составляют 20 см. При расстоянии между пунктами КГС в 1000-3000 км это соответствует точности 1-2 · 10“7. Таким образом, точность спутниковой сети на порядок выше точности АГС.

Точность измерений в доплеровской геодезической сети незна­ чительно уступает точности КГС.

291