- •ГЛАВА 1. ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ И СИЛА ТЯЖЕСТИ
- •§ 1. Сила тяжести и ее потенциал
- •§ 2. Физическая поверхность Земли и геоид
- •§ 4. Геодезические прямоугольные системы координат
- •§ 5. Геодезическая эллипсоидальная система координат
- •§ 6. Сферическая система координат
- •§ 7. Специальная система координат сжатого эллипсоида вращения
- •§ 8. Натуральная система координат
- •§ 9. Связь натуральной и геодезической систем координат
- •§ 10. Топоцентрические системы координат
- •§ 11. Влияние движения полюса на координаты
- •§ 12. Международная служба широты и Международное условное начало
- •§ 13. Международная служба вращения Земли
- •ГЛАВА 3. НОРМАЛЬНАЯ ЗЕМЛЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
- •§ 14. Нормальный потенциал и нормальное поле. Способы выбора
- •§ 15. Внешний потенциал уровенного эллипсоида
- •§ 16. Представление потенциала уровенного эллипсоида в виде ряда
- •§ 17. Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида
- •§ 19. Система координат в нормальном поле
- •§ 21. Фундаментальные геодезические постоянные
- •§ 22. Связь системы координат в нормальном поле с натуральной
- •§ 23. Связь элементов аномального поля с аномальным потенциалом
- •§ 24. Уклонения отвеса в геометрическом и физическом определениях
- •§ 25. Астрономо-геодезические и гравиметрические уклонения отвеса
- •§ 26. Топографические уклонения отвеса
- •§ 27. Топографо-изостатические уклонения отвеса
- •§ 28. Астрономо-геодезическая и гравиметрическая аномалии высоты
- •ГЛАВА 5. ПРИНЦИПЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ. ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ. ОБЩЕЗЕМНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
- •§ 29. Определение фундаментальных постоянных нулевого порядка
- •§ 31. Глобальные модели потенциала. Результаты определения фундаментальных постоянных. Современные модели нормального поля
- •§ 32. Глобальные модели рельефа
- •§ 33. Общеземные системы координат
- •ГЛАВА 6. РЕДУЦИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
- •§ 34. Редукция угловых измерений
- •§ 35. Редукция линейных измерений
- •§ 36. Приведение линейно-угловой сети в единую систему координат
- •§ 37. Требования к точности геодезических координат для редуцирования
- •ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ВЫСОТ
- •§ 39. Геодезическая высота и методы ее определения
- •§ 41. Нормальная высота и аномалия высоты
- •§ 42. Связь геодезической высоты с нормальной высотой и аномалией высоты
- •§ 43. Нормально-ортометрическая высота и высота когеоида
- •§ 45. Определение разности нормальных высот
- •§ 46. Динамическая высота
- •§ 47. Связь уклонения отвеса и аномалии высоты
- •§ 49. Способы определения аномалии высоты
- •§ 50. Астрономическое нивелирование
- •§ 51. Астрономо-гравиметрическое нивелирование
- •§ 53. Связь приращений геодезической высоты, нормальной высоты и аномалии высоты
- •§ 54. Определение разности нормальных высот по спутниковым наблюдениям. (Астрономо-гравиметрическое нивелирование теллуроида)
- •§ 56. Вычисление гравиметрической аномалии высоты
- •§ 57. Вычисление аномального потенциала по дискретным измерениям силы тяжести
- •§ 58. Вычисление аномалии высоты и уклонения отвеса по дискретным измерениям силы тяжести
- •ГЛАВА 9. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ. ПОСТРОЕНИЕ И УРАВНИВАНИЕ
- •§ 59. Историческая справка о построении государственной геодезической сети России
- •§ 60. Точность измерений в государственной геодезической сети
- •§ 61. Определение эллипсоида Красовского. Система координат 1942 г.
- •§ 62. Уравнивание государственной геодезической сети
- •§ 63. Система координат 1995 г.
- •§ 64. Перспективы развития государственной геодезической сети России
- •§ 65. Начало счета геопотенциальных чисел и высот
- •§ 66. Водное нивелирование
- •§ 67. Океанографическое нивелирование
- •§ 68. Определение потенциала в начале счета высот
- •§ 69. Уравнивание нивелирной сети
- •§ 70. Необходимость учета геометрии поля силы тяжести в специальных геодезических работах
- •§ 71. Особенности редукционных вычислений в специальных геодезических работах
- •§ 72. Редуцирование результатов измерений в местную прямоугольную систему координат
- •§ 73. Высоты в локальной системе координат
- •§ 74. Определение уклонений отвеса в местной системе
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ АББРЕВИАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
§ 58. ВЫЧИСЛЕНИЕ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ И УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА ПО ДИСКРЕТНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Гравиметрические аномалию высоты и уклонения отвеса после определения параметров (8.97) моделей можно вычислять двумя способами. В первом случае используют связи искомых величин с аномальным потенциалом. В прямоугольных координатах эти свя зи имеют вид
Т_ |
, |
_ Э Г |
|
э г |
(8.108) |
|
7 ’ |
^ |
т к ’ |
^ |
’ |
||
|
если ось х направлена на север, ось у - на восток; производные вычисляют по координатам вычислительной точки Р. Дифферен цируя выражение (8.96) и учитывая зависимости (8.105), можно получить
1 у Gmi 1 у |
£μ,Δσ = |
1 у |
Ag, * Λσ |
(8.109) |
|
УТ\ |
rP> |
2nVVx |
гр< |
||
|
1 /=1 |
'p i |
(8. 110)
1 y A g * ,
-X i }
2^ t r r3pi
1 yA g*,.
-У,- )
2π^ χ >i,
Во втором способе учитывается то обстоятельство, что анома лии Δ#* распределены на плоскости, над которой нет притягиваю щих масс, и потенциал Т над плоскостью функция гармоническая.
273
Поэтому условия задачи Стокса выполнены и уклонения отвеса и аномалии высоты определяют формулы Стокса
jrdrdA |
(8. 111) |
и Венинг-Мейнеса
Ϊ ρ |
т Р° А |
х) |
|
|
= Р |
|
|
||
f Ag* |
ά σ \ |
(8. 112) |
||
2тгу J г3 |
||||
|
|
|||
% |
|
Ьр- у) |
|
|
для аномалии высоты использована преобразованная формула Стокса. Формулы (8.112) - (8.113) совпадают с формулами (8.15), (8.16). Но если в последних г - расстояние между двумя точками поверхности Земли, то в выражениях (8.111), (8.112) г - расстояние между точкой поверхности Земли, к которой относятся СРЛ Р*ЦР> и точкой i плоскости а. Поэтому в (8.111) - (8.112) расстояние г не может принять равные нулю значения и интегралы не имеют особенностей. Это является преимуществом рассматриваемого ме тода.
Формулы (8.111) - (8.112) совпадут с (8.109) - (8.110), если при менить к ним метод численного интегрирования.
Уравнения (8.109)-(8.110) можно записать в виде
£ , = Σ ^ Λ |
^ = Σ ^ δ^Λ VP = ^ b fA g * |
(8.113) |
|
1=1 |
ι =1 |
/=1 |
|
или в матричной форме |
|
|
|
Ζ = Β ζΧ, |
Ξ = Β ξΧ, |
Н = Β ηΧ. |
(8.114) |
Если определить X согласно выражению (8.95) |
|
||
|
X = A 'F , |
|
(8.115) |
можно найти аномалию высоты и уклонения отвеса по измерен ным аномалиям силы тяжести, не определяя их на вспомогатель ной плоскости. В этом случае
Ζ = Β ζΑΛΡ, E = B $A lF, H = B nA AF |
(8.116) |
274
и процедура нахождения аппроксимирующих аномалий и вычис ления элементов аномального поля объединяются.
В формулах (8.116) элементы аномального поля представлены линейными функциями аномалий силы тяжести. В общем случае аномальный потенциал можно представить линейной функцией
_ N
Τρ = Σ α<1* |
(8.117) |
1=1 |
|
измерений /, причем под измерениями можно понимать не только аномалии силы тяжести, но и результаты любого геодезического измерения, поскольку все они связаны с аномальным потенциалом, - неизвестные коэффициенты. Если определить эти коэффициен
ты под условием
Μ[ε2] = min, |
(8.118) |
для аномального потенциала получим
Т - C TLC^LJ L . |
(8.119) |
В выражениях (8.118), (8.119) ε = Т - Т - ошибка вычисления потенциала; CTL - вектор ковариаций потенциала Т и измерений /; СIjLj - обратная матрица ковариаций измерений; L - вектор из мерений.
Вычисление потенциала согласно формуле (8.119) называют методом средней квадратической коллокации. Этот метод для нахож дения потенциала позволяет использовать совместно измерения разной природы. Однако для его применения необходимо предва рительно определить ковариационные функции элементов аномаль ного поля.