ловая линия поля силы тяжести - линия двоякой кривизны, по­ этому отвесная линия и ось вращения Земли являются в общем случае скрещивающимися прямыми. Из-за этого астрономический меридиан не проходит через ось вращения Земли.

Напомним также, что астрономическим азимутом а называ­ ют угол между плоскостью астрономического меридиана и плос­ костью вертикала, содержащей отвесную линию и наблюдаемый предмет. В геодезии астрономический азимут отсчитывают от направления на север по ходу часовой стрелки.

Сложнее обстоит дело с определением третьей координаты, определяющей положение уровенной поверхности, потому что нет методов измерения потенциала. Принципиальную возможность измерения разности потенциалов открывает равенство (1.7): нуж­ но измерить по любому пути между исходной и текущей точками силу тяжести g и расстояние dh между уровенными поверхностя­ ми. Предположим, что от исходного пункта, лежащего на геоиде

проложен нивелирный ход, вдоль которого измерены превыше­ ния dh и сила тяжести g. Тогда в любой точке этого хода можно вычислить геопотенциальное число (1.14).

Триада <р, Я, W0 - W образует натуральные координаты в поле силы тяжести. В натуральной системе можно определять положе­ ние точек непосредственно по измерениям и решать механические задачи, связанные с работой в поле силы тяжести. Однако слож­ ность и, главное, неизвестность формы уровенных поверхностей и силовых линий не позволяет использовать эту систему для решения геометрических задач. Даже задача вычисления расстояния между двумя точками, определяемыми координатами <р{, Ab (W0 - W)x и <р2 , Я2 , (W0- W)2, становится неразрешимой. Для решения любых геодезических задач вводят более простую систему координат, по возможности близкую к натуральной.

§ 9. СВЯЗЬ НАТУРАЛЬНОЙ И ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМ КООРДИНАТ

Установим связь астрономических и геодезических широт и долгот. Их отличие вызвано несовпадением направлений отвес­ ной линии и нормали к эллипсоиду. Рассмотрим рис. 2.7. Здесь Р - точка поверхности Земли, Рп - нормаль к референц-эллипсои- ду, g - направление силы тяжести (отвесная линия), О - центр

47

эллипсоида, ΟΧΖ - плоскость начального меридиана, ОХУ - плос­ кость экватора. Нормаль к эллипсоиду пересекает плоскость эк­ ватора в точке п, отвесная линия - в точке q2. Угол nPq2 - UAY между нормалью к эллипсоиду и отвесной линией называется аст­ рономо-геодезическим уклонением отвеса.

Проведем вокруг Р сферу единичного радиуса и продолжим нормаль Рп к эллипсоиду и отвесную линию Pq2 до пересечения с этой сферой. Нормаль пересечет вспомогательную сферу в точке ΖΓ геодезического зенита, отвесная линия - в точке ΖΑ астроно­ мического зенита. Угол между направлениями ΡΖΓ и ΡΖΑ и дуга UAr единичной сферы также являются астрономо-геодезическим уклонением отвеса.

Рис. 2.7. Астрономические φ, Я, геодезические В, L

итопоцентрические горизонтные х, у, ζ координаты

иастрономо-геодезическое уклонение отвеса

48

Проведем через точку Р линию ρΡΖ', параллельную оси вра­ щения Земли и малой оси референц-эллипсоида: эта линия пересе­ кает вспомогательную сферу в точке Ζ', а плоскость экватора в точке р. Плоскость ZrPZ' - это плоскость геодезического мери­ диана точки Р, она пересекает плоскость экватора по линии рО: угол ХОр - геодезическая долгота L, угол Рпр - геодезическая широта В точки Р, дуга ZrZ' равна дополнению геодезической широты В до 90°. Плоскость ZAPZ' является плоскостью астро­ номического меридиана, она пересекает плоскость экватора по линии pq2o. Угол Хор - астрономическая долгота Я точки Р; плоскости начального астрономического и геодезического мери­ дианов считаем совпадающими. Угол Pq2p - астрономическая широта φ точки Р, дуга Ζ"ΖΑ равна дополнению астрономической широты φ до 90°.

Из точки ΖΑ астрономического зенита проведем дугу ZAq, пер­ пендикулярную меридиану ΖΓΖ'. Дуга Z Tq = ξΑΓ называется состав­ ляющей астрономо-геодезического уклонения отвеса в плоскости меридиана, дуга Z Aq = ηΑΓ - составляющая в плоскости первого вертикала.

Установим соотношения между уклонением отвеса и его со­ ставляющими. Рассмотрим треугольник ZrZ^q. Уклонения отвеса на Земле не превышают Г, поэтому его можно считать плоским. Этот треугольник изображен на рис. 2.8, где показаны также на­ правления ΖΓΝ меридиана и ΖΓΕ первого вертикала. Из треуголь­

где θ - геодезический азимут плоскости Ζ ΓΡΖΑ , содержащей от­ весную линию.

Уклонения отвеса задают как величиной угла UAr и азимутом 0, так и составляющими ξ, η уклонения отвеса. Знаки составляю­ щих уклонения отвеса устанавливают по правилу: если астроно­ мический зенит уклоняется к северо-востоку от геодезического, составляющие уклонения отвеса положительны. На рис. 2.7, 2.8 уклонения отвеса положительны.

Составляющую ϋΑ уклонения отвеса в произвольном азимуте А удобно находить через компоненты <^г, ηΑΓ астрономо-геоде­ зического уклонения отвеса в плоскостях меридиана и первого

49

вертикала. Спроектируем отрезок ΖΓΖΑ на линию, проходящую в азимуте А. Дуга на единичной сфере, соответствующая отрезку Zrd, является составляющей ϋΑ уклонения отвеса в этом азимуте. Согласно рис. 2.8 запишем

ϋΑ= UArcos(0 - А) = UArcos0 cosA + U Arsin0 sinA,

или, с учетом формул (2.30),

Рис. 2.8. Составляющие уклонения отвеса

Выразим составляющие уклонения отвеса через астрономичес­ кие и геодезические координаты. Из прямоугольного сферическо­ го треугольника q Ζ'ΖΛ (см. рис. 2.7) получаем

50

Формулы (2.32) поясняют способ вычисления астрономо-гео­ дезических уклонений отвеса: чтобы получить эти уклонения, нуж­ но измерить в точке с известными геодезическими координатами астрономические координаты. Разности координат дадут состав­ ляющие уклонения отвеса. Напомним, что на рис. 2.7 линия PZ' параллельна оси вращения Земли и малой оси эллипсоида. Поэто­ му формулы (2.32) верны только в том случае, если это условие выполняется, т.е. если малая ось референц-эллипсоида параллель­ на оси вращения Земли. С другой стороны, если геодезические координаты выбрать с соблюдением условий (2.32), тем самым будет гарантирована параллельность малой оси референц-эллип­ соида и оси вращения Земли.

Согласно выражению (2.32), астрономо-геодезические уклоне­ ния отвеса зависят не только от направления отвесной линии, но и от направления нормали, т.е. выбора эллипсоида. В одной и той же точке поверхности Земли астрономо-геодезическое укло­ нение отвеса будет различным для разных референц-эллипсоидов. Поэтому уклонение отвеса, вычисленное относительно нормали к референц-эллипсоиду, называется относительным. Уклонение от­ веса от нормали к общему земному эллипсоиду, центр которого совпадает с центром масс Земли, называется абсолютным.

Найдем связь геодезической высоты с нивелирным превыше­ нием Ah. На рис. 2.9 Р и Pj - точки поверхности Земли, между которыми измерено превышение Ah, т.е. расстояние между про­ ходящими через эти точки уровенными поверхностями поля силы тяжести. В геометрическом нивелировании расстояние между пе­ реходными точками невелико, поэтому можно считать уровенную поверхность W - С плоскостью. Линия РР2 параллельна касатель­ ной к поверхности эллипсоида, Рп - нормаль к поверхности эл­ липсоида, Рр - отвесная линия.

Угол -ϋ ^ Γ между нормалью к эллипсоиду и отвесной линией является составляющей астрономо-геодезического уклонения от­ веса в точке Р в азимуте линии PPj. Угол наклона уровенной по­ верхности в точке Р также равен составляющей уклонения отвеса (уклонения отвеса считают отрицательными, если наклон уровен­ ной поверхности к эллипсоиду положителен; на рис. 2.9 уклоне­ ние отвеса отрицательно).

Согласно рис. 2.9 для отрезка PjP2 нормали к эллипсоиду, рав­ ного разности АН геодезических высот, можно написать

Р,Р2 = ΔΗ = ADsin (а - ϋ 41} = A D (sina cosΐΗΓcosa sim ^7).

51