Как уже подчеркивалось, такие уравнения можно составить для каждого пункта нивелирной сети с известной геодезической высотой в геоцентрической системе координат. Из совместного решения этих урав­ нений можно определить одновременно разности потенциалов в началь­ ных пунктах изолированных нивелирных сетей.

Для определения аномального потенциала перспективно исполь­ зование чистых аномалий (g - γ) силы тяжести, являющихся разно­ стью действительной и нормальной силы тяжести в точке поверх­ ности Земли. В этом случае поверхность Земли при решении крае­ вой задачи считается известной, и нет необходимости использования геопотенциальных чисел для построения поверхности Земли перво­ го приближения. Однако реализация этого способа потребует оп­ ределения геодезических высот всех гравиметрических пунктов, не­ обходимых для вычисления нормальной силы тяжести в точках поверхности Земли. Метод определения аномального потенциала по чистым аномалиям силы тяжести изложен в учебнике [28].

§ 69. УРАВНИВАНИЕ НИВЕЛИРНОЙ СЕТИ

Исходными данными для установления высотного положения точек поверхности Земли являются результаты геометрического, гидростатического и океанографического (водного) нивелирова­ ния и измерения силы тяжести, повторяемые с той или иной час­ тотой. По этим данным находят высоты пунктов в принятой си­ стеме высот, а также изменения этих высот с течением времени. В главе 7 отмечалось, что высотное положение точек в поле силы тяжести однозначно определяется геопотенциальным числом

к - w p =\gdh,

т.е. той работой, которую нужно выполнить в поле силы тяжести, перемещая единичную массу с отсчетной уровенной поверхности W - W0 на уровенную поверхность W = Веточки Р. Зная W0 - WP,, можно перейти к любой системе высот согласно формулам (7.13), (7.15), (7.27). Так как полученные из геометрического нивелирова­ ния превышения зависят от пути нивелирования, уравнивание ниве­ лирных сетей выполняют с использованием или разностей нормаль­ ных высот или геопотенциальных чисел. Геопотенциальное число непосредственно не измеряют, а выводят по измеренным превыше­ ниям dh и значениям силы тяжести g. В дальнейшем уравнивании интеграл J gdh считают непосредственно измеренной величиной, при­ чем полагают, что ошибки разности геопотенциальных чисел и нор­ мальных высот обусловлены только ошибками нивелирования.

332

Так же как и плановая астрономо-геодезическая, нивелирная сеть создается в течение длительного времени. В России определе­ ние высот начали на пунктах дуги Струве в 1816 г. методом три­ гонометрического нивелирования. Первая линия нивелирования горизонтальным лучом от Кронштадта до Москвы проложена в 1873-1876 гг., а в 1894 г. закончено уравнивание нивелирных ли­ ний, выполненных в 1871-1893 гг. Это уравнивание выявило от­ личие уровней Балтийского и Черного морей. Однако в результа­ те уравнивания их приняли одинаковыми и таким образом была установлена балтийско-черноморская система высот.

Второе уравнивание нивелирной сети СССР выполнено в 1933 г. Из-за значительного расхождения высот в европейской и восточной частях страны в каталог высот 1934 г. включены толь­ ко европейские пункты. На востоке страны началом нивелировок был уровень Тихого океана. С 1934 г. действовала балтийскотихоокеанская система высот.

В 1946 г. Постановлением Совета Министров в СССР введена СК-42 и балтийская система высот. Практически балтийская сис­ тема введена в 1949-1952 гг., когда по результатам завершенного к 1950 г. нового уравнивания нивелирной сети издан каталог вы­ сот. Уравнивали ортометрические высоты.

Программа ЦНИИГАиКа нивелирования разработана в 1967 г. под руководством И.И.Энтина и одобрена Научно-техни­ ческим советом ГУГК 29 января 1968 г. К программе приложен список 274 уровнемерных постов СССР, в том числе 80 станций, ведущих наблюдения за вековыми изменениями уровня моря.

Протяженность линий нивелирования I и II классов к этому времени составила 367 тыс. км (табл. 10.4).

333

Уравнивание нивелирной сети СССР выполнено в системе нор­ мальных высот. Для совместного уравнивания сети I и II классов территория страны была разделена на два блока «Запад» и «Вос­ ток». Разделительная граница между блоками выбрана по линии 1 класса Архангелъск-Киров-Казанъ-Аралъск-Арысъ. Первым уравня­ ли блок «Запад», его уравненные высоты служили исходными для блока «Восток». Нивелирование I и II классов уравнено совместно, оба блока образовали сеть из более 500 полигонов. В полигонах, состоящих из линий нивелирования I и II классов, линиям нивели­ рования I класса приписывался в три раза больший вес. Уравнива­ ние в западном блоке выполнено коррелатным, а в восточном - параметрическим способом. Веса назначали по формуле

с

где L - длина секции, постоянная с равна 1 для нивелирных сетей I класса и 1/3 для II класса.

Приведем значения ошибок нивелирования на 1 км хода:

Ошибки нормальных высот возрастают с увеличением рассто­ яния от исходного пункта (Кронштадтский футшток) и не превы­ шают 15 см в северо-восточной части страны.

Более подробные сведения об уравнивании нивелирной сети

СССР приведены в [13] и [29].

Средние квадратические ошибки передачи высот от нуля Крон­ штадтского футштока для разных пунктов составили (в мм):

В результате уравнительных вычислений получены разности вы­ сот многих уровнемерных пунктов от нуля Кронштадтского футш­ тока. Уровни всех морей оказались ниже уровня Балтийского моря:

Черное море: Севастополь - 0,25 м, Сочи - 0,25 м, Сухуми - 0,26 м;

334

Каспийское море: Баку - 28,59 м, Красноводск -28,76 м, Форт Шевченко - 28,57 м;

Тихий океан: Бухта Золотой рог - Владивосток - 1,00 м, Та­ тарский пролив - Советская гавань - 0,66 м, Охотское море - Магадан - 0,52 м, Анадырский залив - Эгвекинот - 0,34 м;

Северный Ледовитый океан: Чукотское море - мыс Шмидта - 0,36 м, Восточно-Сибирское море - Амбарчик - 0,79 м, Карское море - Диксон - 0,73 м, Усть-Кара - 0,46 м, Белое море - Архан­ гельск - 0,3 м.

С завершением уравнительных вычислений создана ныне дей­ ствующая Единая система Балтийских нормальных высот 1977 года.

Рассмотрим принцип уравнивания геопотенциальных чисел. Предположим сначала, что геопотенциальные числа всех реперов сети измерены от одной и той же уровенной поверхности и для всех пунктов сети W0 постоянно. Будем также считать, что изме­ ренные разности потенциала неизменны во времени. Нивелирные сети уравнивают по методу наименьших квадратов коррелатным или параметрическим способом. В коррелатном способе для каж­ дого замкнутого полигона или хода между двумя футштоками, находящимися по предположению на одной и той же уровенной

где (W; - Wj)m - измеренная разность геопотенциальных чисел между соседними реперами; WN - Wl - известная разность геопо­ тенциальных чисел начального и конечного пунктов хода; (v^)w - поправка в разность геопотенциальных чисел; N - число линий, входящих в полигон или ход.

Напомним, что в замкнутом полигоне сумма приращений гео­ потенциальных чисел должна равняться нулю. Поправки vfy нахо­ дят из совместного решения уравнений (10.19) для всех полиго­

где р - веса.

Уравнение (10.19) можно составить в том случае, если в сети есть замкнутые полигоны или линии, опирающиеся на уровнемерные посты. Неудобство уравнивания нивелирных сетей коррелатным спо­ собом связано с тем, что одна и та же сторона входит в разные полигоны; кроме того, обширные нивелирные сети, покрывающие

335

значительные территории, создают в течение длительного времени, а уравнивание выполняют до того, как будут замкнуты все полигоны. Поэтому обычно нивелирные сети уравнивают параметрическим спо­ собом, принцип которого состоит в следующем. Сначала находят приближенные значения (W0 - Wj)' геопотенциальных чисел репе­ ров, а затем образуют для каждой секции уравнения поправок

где S{W0 - W) - поправки к принятым предварительным значениям геопотенциальных чисел, vfy - поправки к их измеренным разно­ стям, 1у - свободный член, равный разности вычисленных по при­ ближенным значениям и измеренных приращений геопотенциаль­ ных чисел,

hj = W o - Щ ' - (W0 - w y - (Wt - Wj).

Решение уравнений (10.21) выполняют под условием (10.20) по обычным правилам метода наименьших квадратов МНК.

Одна из основных особенностей уравнивания нивелирных сетей связана с определением весов. Для их назначения используют резуль­ таты анализа точности геометрического нивелирования. Ошибки геометрического нивелирования принято представлять в виде

σ - систематическая ошибки на 1 км хода. Значения η и σ находят из анализа избыточных измерений на станции, расхождения пря­ мого и обратного превышения, невязок полигонов. Методика оп­ ределения η и σ описана в [29]. В последнее время методами мате­ матической статистики находят дисперсию D измеренного превы­ шения, не прибегая к гипотезе (10.22).

Веса измеренных превышений и разностей геопотенциальных

где с - постоянная. Если же ошибка т и дисперсия D неизвестны, веса назначают обратно пропорционально длине линии или чис­ лу штативов.

Уравнительные вычисления с условиями (10.20), (10.21) основа­ ны на предположении о неизменности поверхности Земли с течени­ ем времени. На самом деле существуют вертикальные движения зем­ ной коры (ВДЗК), а также изменения силы тяжести. Это приводит к изменению геопотенциальных чисел с течением времени. Для исклю­

336

чения ВДЗК все измерения, включаемые в уравнительные вычисле­ ния, должны относиться к одной эпохе. Очевидно, что это условие невыполнимо, поскольку обширные нивелирные сети, покрывающие территории целых континентов, создают в течение длительного вре­ мени. Поэтому нужно специально исследовать ВДЗК по данным на­ блюдений на уровнемерных станциях и повторным нивелировкам. Это позволяет, совместно с привлечением геофизической информа­ ции, построить достоверную модель движений земной коры в том или ином регионе и редуцировать на основании этой модели к выб­ ранному моменту времени результаты измерений.

Для иллюстрации методов уравнивания нивелирных сетей при­ ведем некоторые сведения по уравниванию Объединенной Евро­ пейской нивелирной сети UELN. Основу этой сети составляет сеть UELN-73, уравненная в 1981 г. и включающая нивелирные сети 14 европейских стран. Сеть содержит 768 пунктов и 76 уровне­ мерных станций. Общая протяженность нивелирных линий 90 522 км. Сеть уравнена как свободная с опорой на исходный пункт, свя­ занный с Амстердамским футштоком. Данные океанографическо­ го нивелирования не использованы. В уравнивание 1981 г. не вклю­ чены нивелирные сети Скандинавских стран (Норвегия, Швеция, Финляндия), где наблюдается заметный подъем земной коры. Нивелирные сети остальных 11 стран уравнены параметрическим способом. Априорные веса измеренных разностей геопотенциальных чисел вычислены по формуле

200

где t - ошибка на 1 км хода, найденная из анализа национальных нивелирных сетей. Значения t2 приведены в таблице 10.5.

Т а б л и ц а 10.5

Точность измерений в Объединенной Европейской нивелирной сети

337

Врезультате уравнивания получены геопотенциальные числа 471 реперов с их стандартными ошибками, которые возрастают по мере удаления от исходного пункта от 0,004 кгал. м в Нидер­ ландах до 0,047 кгал. м в Португалии. Статистический анализ поправок в измеренные приращения геопотенциальных чисел позволил выявить ненадежные измерения и установить, что поправки Vy не подчиняются нормальному распределению.

Сравнение приведенных выше данных свидетельствует о соот­ ветствии точности нивелирования I класса СССР и западноевро­ пейских стран.

Впоследующем сеть UELN неоднократно переуравнивалась с включением нивелирных сетей стран Скандинавского полуостро­ ва и Восточной Европы. Использованы также данные океаногра­ фического нивелирования и GPS. Объединенная Европейская ни­ велирная сеть по состоянию на 2000 г. показана на рис. 10.7.

Рис. 10.7. Схема Объединенной Европейской нивелирной сети

338

Глава 11

ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ

ИНЖЕНЕРНО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Геодезические измерения, проводимые для обеспечения строи­ тельства и эксплуатации различных сооружений, обычно считают выполненными в однородном поле плоской Земли. Это предполо­ жение означает, что сила тяжести в районе работ постоянна по величине и направлению, силовые линии - параллельные прямые, а уровенные поверхности - перпендикулярные к ним плоскости (рис. 11.1). Иными словами, предполагается, что измерения вы­ полнены в прямоугольной системе координат, а одной из коор­ динатных линий является направление отвеса. Обработка наблю­ дений в такой системе координат не требует предварительных редукций и не вызывает затруднений.

Рис. 11.1. Однородное поле: gp = gq; PQ0 = P0Q; PP0 = Q0Q

Но поле силы тяжести Земли не однородно (рис. 11.2). В главе 1 отмечено, что силовые линии - это пространственные кривые, касательные к ним отвесные линии не параллельны (см. рис. 1.2); уровенные поверхности имеют сложную форму, кривизна их не

340

постоянна и расстояние между уровенными поверхностями меня­ ется в зависимости от величины силы тяжести. Обработка изме­ рений, выполненных в этой (натуральной) системе координат, представляет определенные сложности и требует предварительно­ го изучения поля силы тяжести.

Рис. 11.2. Неоднородное поле: gp Ф gq\ Ρ()0ΦΡ0ζ); PP0* Q 0Q

В предыдущих главах изложены методы обработки результа­ тов геодезических измерений, выполненных в натуральной систе­ ме координат на всей поверхности Земли или ее значительной части. Инженерно-геодезические сети имеют ряд особенностей по сравнению с астрономо-геодезической сетью:

-занимают небольшую территорию;

-могут не иметь связи с астрономо-геодезической сетью;

-имеют высокую точность определения взаимного положе­ ния пунктов;

-имеют значительные углы наклона и одинаковую точность измерения горизонтальных и вертикальных углов;

-выполняются как на поверхности Земли, так и под землей (в тоннелях, скважинах, подводных сооружениях);

341