Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии

Глава 1. Элементы линейной алгебры

1.1. Матрицы и операции над ними

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

156

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

1 / 381 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет»

Сборник задач и упражнений по высшей математике

для студентов экономических специальностей

Часть I

МИНСК 2007

ПР Е Д И С Л О В И Е

Впервые два года обучения студенты экономических специальностей изучают курс высшей математики, служащий фундаментом экономического образования. Для успешного и глубокого усвоения курса высшей математики необходимы не только учебники и справочники по соответствующим разделам, но и задачники, служащий для закрепления теоретического материала и повышения уровня математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности.

При подготовке сборника авторы исходили из того, что наиболее эффективной формой изучения высшей математики является, помимо изучения теоретического материала, самостоятельная работа студентов над практическими заданиями при надлежащем контроле со стороны преподавателей. Поэтому каждый параграф содержит краткие сведения из теории, носящие справочный характер, и достаточно большое число примеров с подробным решением для иллюстрации наиболее рациональных приемов. В конце каждой главы данные соответствующие контрольные задания, что облегчает использование этого сборника преподавателями.

Материал сборника подготовлен сотрудниками кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета и распределен следующим образом: гл. 1 написана доцентом, к.ф.-м.н. Е.И. Шилкиной; гл. 2 – доцентом, к.ф.-м.н. А.В. Конюхом; гл. 3 – доцентом, к.ф.-м.н. О.Н. Поддубной; гл.4–5 – доцентом, к.ф.-м. н. С.В. Майоровской; гл. 6 – 7 – доцентом, к.ф.-м. н. В.В. Косьянчуком.

Вконце книги даны ответы на предложенные задачи и приведен список литературы, в которой вошли в основном все источники, использованные авторами при составлении данного сборника.

Вприложении в конце книги также даны примерные варианты тестовых заданий для контроля усвоения курса студентами.

Задачник может быть использован студентами экономических специальностей различных вузов всех форм обучения.

Авторы будут благодарны за все замечания и предложения по улучшению данного сборника.

Пример 1.5. Вычислить определитель =

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица mn действительных чисел, записываемая в виде

a11

A = a21

…

am1

a12	… a1n
a	…	a
22		2n .
…	… …
…	… …
am2	…	amn

Если число строк матрицы A равно числу ее столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n и обозначают An . Элементы a11, a22 ,…,ann квадратной матрицы образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, называется единичной матрицей и обозначается E.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием матрицы A = (aij )m×n называется такое ее преобразо-

вание, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров и порядком следования элементов. Матрица, полученная транспонированием матрицы A, называется транспонированной и обозначается A′. Таким об-

разом, A′ = (aij′ )n×m , где a′ji = aij , i =1,2,…, m; j =1,2,…, n .

Суммой двух матриц	A= (aij )m×n и B = (bij )m×n называется такая матрица
С = (cij )m×n , в которой cij = aij +bij (i =1, 2,…, m; j =1, 2,…, n).		Кратко пишут С
= А + В.
Произведением матрицы A= (aij )m×n на число α называется такая матрица
B = (bij )m×n , в которой	bij =α aij (i =1, 2,…, m; j =1, 2,…, n).	Кратко пишут
B = A α или B =α A .

Произведением матрицы A = (aik )m×n на матрицу B = (bkj )n×p справа (или матрицы В на матрицу А слева) называется такая матрица C = (cij )m×p , в кото-

n	(i =				).
рой cij = ai1b1 j + ai 2b2 j +…+ aikbkj +…+ ainbnj = ∑aikbkj			; j =
		1, m	; j =	1, n
k =1

Произведение матрицы А на матрицу В справа обозначается С = АВ (так же обозначается произведение матрицы В на матрицу А слева). Правило умножения матриц формулируется следующим образом: чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С = АВ,

нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

			1	2	3			1	−1
Пример 1.1. Пусть			1	2	3	,	B =	0	− 2 . Тогда
Пример 1.1. Пусть			A =	0		,	B =	0	− 2 . Тогда
			4	0	−1
									0
								2	0
		1 1 + 2 0 + 3 2			1 (−1) + 2 (−2) + 3 0					7 −5
AB =		1 + 0 0 + (−1) 2 4 (−1) +								=		.
4		1 + 0 0 + (−1) 2 4 (−1) +					0 (−2) + (−1) 0 2					− 4
1 1 + (−1) 4 1 2 + (−1) 0 1 3 + (−1) (−1) −3 2 4
	1 + (−2) 4 0 2 + (−2) 0 0						3 + (−2)
BA = 0	1 + (−2) 4 0 2 + (−2) 0 0						3 + (−2)		(−1)	= −8 0 2 .
	2	1 + 0 4	2 2	+ 0 0
	2	1 + 0 4	2 2	+ 0 0			2 3 + 0 (−1)				2 4 6
Таким образом, AB ≠ BA.
Пример 1.2. Пусть			1	1	,	B	−1	1
Пример 1.2. Пусть			A =		,	B	=		. Тогда
			1	1			1	−1

1 (−1) +1 1			1 1 +1 (−1) 0		0
AB =	(−1)	+1 1		=		= 0 ,
1	(−1)	+1 1	1 1 +1 (−1)	0	0

−1 1 +1 1				−1 1 +1 1 0		0	= 0 .
BA =	−1	1	+1 1		=
				−1 1 +1 1	0	0

Таким образом, AB = BA = 0, хотя A ≠ 0 , B ≠ 0 .

Многочлены от матриц. Пусть А – произвольная квадратная матрица n- го порядка, k – натуральное число. Тогда k-й степенью матрицы А называется произведение k матриц, каждая из которых равна А: Аk = A A…A . Нулевой

					k раз
степенью A0		квадратной матрицы А (A ≠ 0) называется единичная матрица,
порядок которой равен порядку А: A0 = E .
	Пусть	f (t) =α0t m +α1t m−1 +…+αm	есть	многочлен	аргумента t, где
α0 ,α1,…,αm −действительные числа. Тогда многочленом					f ( A) от матрицы
А	называется матрица f ( A) =α0 Am +α1 Am−1 +…+αm E ; порядок матрицы
f	( A) совпадает с порядком матрицы А.		Если	f ( A) есть нулевая матрица:
f	( A) = 0 , то многочлен f (t) называется аннулирующим многочленом матрицы

А, а сама матрица А называется корнем многочлена f (t) .

Пример 1.3. Если		1	2	, f (t) = t 2	− 2t + 3 , то
Пример 1.3. Если	А=			, f (t) = t 2	− 2t + 3 , то
	−1		1

	1 2	1 2	− 2		1 2	+ 3	1	0	0	0
f ( A) =			− 2			+ 3			=	.
−1 1 −1 1				−1 1			0	1	0	0

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Определить размерность следующих матриц:

−1 2 ,		1	2	3	4 ,	5 6			1
−1 2 ,		1	2	3	4 ,	7	8	, [2],	2 , [−1 − 2 −3].
	3 5	5	6	7	8

						9	10		3

1.2. Какие из следующих матриц являются диагональными, верхними треугольными, нижними треугольными:

0 − 2		1	0	0		1 −1			1	0	0	1 0
0 − 2						1 −1		D = − 3 0			0 ,	1 0
A =	,	B = 0 2 0 , C =					,	D = − 3 0			0 ,	E =	,
3	− 4					0 1						0 1
			0						4	2
		0	0	4					4	2	5
0	−1	?
F =		?
− 2	0
					1	− 4	10
1.3. Дана матрица				B =		5							b22 , b31,
1.3. Дана матрица				B =	2	5	−7 . Чему равны элементы						b22 , b31,
						2
					0	2	−3

b13 ? Какие элементы образуют главную диагональ, какие – побочную?

1.4. Найти A − 2B + 3C, если:

5 3		1 2 3 2				0		1
A = 1	− 2 , B =		4	1	, C = − 2 3				.
	5						2
4	5	−1 2 5 2					2	−1

1.5. Найти матрицу Х из уравнения:

−1		2		5		2	1		−3 − 2			1 0 0
			+ 2X =					3	1		+3X =		1
а) − 2		3	+ 2X =	− 2 5 ;			б)	3	1	− 2	+3X =	0	1	0 .
	4	4			2	2	−3 2			1		0	0	1

1.6. Найти АВ и установить, существует ли ВА, если

		2	3	4	5		300	200
		2	3	4	5		400	−100
							400	−100
A =		9	2	−3 4		,	B =		.
								−300
			−5	3			100	−300
	−1		−5	3	11			500
							200	500

1.7. Найти АВ и ВА, если:

1	0	0	1			1	1		1		1
а) A =	,	B =	;		б) A =		, B		=		;
0	0	0	0			1	1		−1	−1
2	3	2 −3				2	3	0		1	0
2	3	2 −3			г)	2	3	0	B =	1	4 ;
в) A =	,	B =		;	г)	A =	0	,	B =	1	4 ;
1	2	−1 2				1	0	4

										0	2

	1
д)	A = 2 , B = [−1 − 4 0].


	3

Сделать вывод о выполнении равенства АВ = ВА.

	2	3	0		1
1.8. Даны матрицы	2	3	0	−1],	X = 2 . Найти те по-
1.8. Даны матрицы	A =	0	, Y = [− 4	−1],	X = 2 . Найти те по-
	1	0	4

					0

парные произведения данных матриц, которые существуют.

1.9. На примере матриц А и В убедиться, что AB = 0, хотя A ≠ 0, B ≠ 0,

если:

а)	A =	2	−3		B =	9	− 6
а)	A =		−	,	B =			;
		4	−	6		6	− 4
		5 2 − 2 3						2	2 2 2
				−					−5 3 11
б)	A =	6 4		−	3 5	,	B =	−1	−5 3 11
б)	A =	9 2		−3 4		,	B =	16 24 8 −8		.
		9 2		−3 4				16 24 8 −8
				−
		7 6		−	4 7			8 16 0 −16
	1.10. Дано:
	1 3 0					1 0 2			6 5 7
A = 0 4 −1 , B =						0 1 1 ,			X = 2 2 4 .


	2 3 0					2 0 2			3 3 6
Показать, что АХ = ВХ, хотя A ≠ B.
	1.11. Найти A2 , если A = 6								− 4 .

								9	−6

1.12. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свой-

ствами:
′	′	′	′	′ ′	′	′
а) (A + B)	= A	+ B ;	б) (AB)	= B A ;	с) (cA)	= cA .
		′	′
1.13. Найти A B BA, если:

		1
		1			1 0		3 2 ;				б) A = 1 , B =				3 6 .
а) A =		1	,	B =	1 0		3 2 ;				б) A = 1 , B =				3 6 .
		0				−1
		0			1	−1	−1 1					−1			2 1

	−1
	1.14. Дано:
										−1
	3 6 ,						3 2 ,						−1 .
A =	3 6 ,			B =	1 0		3 2 ,		X =		1 ,	Y =	−1 .
						−1
	2 1				0	−1	−1 1			−1			1

											0
Найти AB,					′			′
Найти AB,				BX , B BX , AY,				A AY.
	1.15. Даны матрицы:
						1	1	1	1		−1 0			2 2
									1		−1 0			2 2
A =	1 0 1 , B = 2 2 3 ,								C = −1 0			1	,	D = −1 −1 .
						3 3 3
	−1 7 5					3 3 3									1	1
							0			0 1 −1					1	1
						0	0	0

Определить размерность следующих матриц: AC, AD, DA, BC, CB, DAC, BCDA. Найти:

1)элемент, стоящий во второй строке и втором столбце матрицы АС;

2)элемент, стоящий в четвертой строке и первом столбце матрицы ВС;

3)элемент, стоящий в последней строке и последнем столбце матрицы DA;

4)элемент, стоящий в первой строке и первом столбце матрицы ВС.

1.16.Пользуясь свойствами умножения матриц, вычислить наиболее ра-

ционально АВ, если	340	510		24	−36
ционально АВ, если	A =	,	B =		24	.
	170	340	−12		24

1.17. Даны матрицы			3	4	8	1		2 − 7
1.17. Даны матрицы		A =		,	B =	,	C =		. Найти мат-
			5	1	2	3	−8 1
рицу D = λ1 A + λ2 B + λ3C, если λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 =1.
1.18. Найти	f ( A), если:
а) f (x) = x2 −5x +	3, A =	2	−1
а) f (x) = x2 −5x +	3, A =		3	;
		−3	3

				2		1	1
б) f (x) = x	2	− x +1,	A =			1
б) f (x) = x		− x +1,	A =	3		1	2 ;
					−1
				1	−1		0
в) f (x) = x2 − 2x + 3,				1		−1
в) f (x) = x2 − 2x + 3,			A =			3	;
				2		3
г) f (x) = x3 − 2x2 + x + 4,						3	−1
г) f (x) = x3 − 2x2 + x + 4,					A =		2	;
						0	2
					1	0	2
д) f (x) = 3x2 − 4x +1, A =					0 0		−1 ;

						1	0
					0	1	0
						−1		0	0	0

е) f (x) = x4 − 2x2 + 3x −5,					A =		0 2 0 0 .
							0	0	1
							0	0	1	0
							0	0	0	0

1.19.

Найти

2 f ( A) −3g( A),

если

−1 2

f (x) = x3 − x2 + 5x + 4,

A =

g(x) = x2 − 2x +1.

1.20. Найти

f (B) −

2g(B), если A =

f (x) = x2 − 2x +1,

g(x) = 3x +5.

0 1 −1

1.21. Найти (f ( A))2 ,

если A = 2

−1

3 ,

f (x) = x +1.

−1

1.22. Найти (f ( A))3 ,

если A = 1

2 ,

f (x) = 2x +1.

−1 0

1.23. Выполнить указанные действия:

−1 5 2

0 5

cosα

−sinα 3

а)

2 3

; б) 0

0 ; в)

;

г)

sinα

cosα .

a11,

det A = a11.

1.24. Вычислить выражения при n = 2 и n = 3, обнаружить закономер-

ность и с помощью метода математической индукции обосновать ответ:

1 n

cosα

−sinα n

a n

а)

;

б)

;

в)

cosα

;

г)

sinα

1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Пусть имеется произвольная квадратная матрица n-го порядка:

a11

a21

… A =

ai1

…an1

a		… a		… a
	12		1k		1n
a22		… a2k		… a2n
…		… …		… …			(1.1)
						.
ai2		… aik		… ain
…		… …		… …
a		… a		… a
	n2		nk
					nn

Каждой такой матрице поставим в соответствие число, обозначаемое A

или det A и называемое определителем этой матрицы. Для обозначения определителей также используют греческую букву .

При n =1 матрица (1.1) имеет вид A =[a11 ], и, по определению, будем счи-

тать определителем этой матрицы (определителем первого порядка) само число т.е.

Пусть теперь n ≥ 2. Минором M ik элемента aik матрицы (1.1) назовем определитель матрицы (n −1) − го порядка, полученной из (1.1) вычеркиванием

i-й строки и k-го столбца. Алгебраическим дополнением Aik				элемента aik матри-
цы	(1.1) назовем произведение множителя (−1)i+k на			минор M ik , т.е.
A	= (−1)i+k M	ik	. Определителем матрицы n-го порядка равен сумме произведе-
ik		ik
ний элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:
			n
			det A = a11 A11 + a12 A12 +…+ a1n A1n = ∑a1k A1k .	(1.2)

k =1

Формула (1.2) называется разложением определителя n-го порядка по элементам первой строки.

Вычислим определитель третьего порядка:

а11

а12

а13

(−1)1+1

а22

а23

(−1)1+2

а21

а23

+ a (−1)1+3

а21

а22

= а

+ а

а32

а33

а31

а33

а31

а32

а31

а32

а33

= а11(а22а33 − а23а32 ) − а12 (а21а33 − а23а31) + a13 (а21а32 − а22а31) =

= а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 − а13а22а31 − a12а21а33 − а11а23а32 .

(1.3)

Каждое из

шести

слагаемых

(1.3) называется членом

определителя

третьего порядка и есть произведение трех элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы составить выражение (1.3), можно воспользоваться схемой Саррюса (или правилом треугольников), согласно которой со знаком плюс берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком минус берутся произведения элементов побочной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали:

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•

Перечислим свойства определителей.

1.Определитель матрицы, полученной из данной транспонированием, равен определителю данной матрицы: det A′ = det A.

2.При перестановке местами двух строк (столбцов), определитель меняет знак на противоположный, сохраняя при этом свою абсолютную величину.

3.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

4.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то сам определитель умножится на это число.

Следствие 1. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Следствие 2. Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

Следствие 3. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

5.Если каждый элемент i-й строки ( k −го столбца) определителя есть сумма двух слагаемых: aik = aik′ + aik′′ , то определитель есть сумма двух опреде-

лителей; в первом из которых i-я строка ( k -й столбец) состоит из элементов aik′ , во втором – из элементов aik′′ .

6.Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

8.Если к элементам некоторой строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное число α, то определитель не изменится.

9.Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

Пример 1.4. Вычислить определитель треугольной матрицы:

a	0	0	…	0
11	a22	0	…	0
a21
А= a31	a32	a33	…	0	.
	…	…
…			… …
	an2	an3	…
an1				ann

Р е ш е н и е. Применяя последовательно формулу (1.2), получим

	a22	0	…	0		a33	… 0


	a32	a33	…	0
det A = a11					= a11 a22	… … …		=…= a11a22a33 …ann .
	…	…	… …
	an2	an3	…	ann		an3	… ann

Итак, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Аналогично можно показать, что определитель матрицы, у которой равны нулю все элементы, находящиеся выше (ниже) побочной диаго-

n(n−1)

нали, равен произведению числа (−1) 2 и всех элементов побочной диагона-

	1	4	3	5		4 3
	−1	2	2	0		4 3
ли. Например,	−1	2	2	0	= (−1)	2	5 2 4 1 = 40 .
	3	4	0	0
	1	0	0	0

Р е ш е н и е. К первой и к четвертой строкам прибавим вторую строку, к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на два, и разложим полученный определитель по третьему столбцу:

	−1	2	0	6		−1	2	6		−1	2	2


	− 3	7	−1 4
=					= (−1) (−1)2+3	−1 5		15	= 3	−1	5	5	.
	−1	5	0	15		1	1	6		1	1	2
	1	1	0	6

Прибавляя третью строку к первой и второй строкам, получим:

	0	3	4	= 3 1 (−1)3+1	3	4
	0	3	4
= 3	0	6	7				= 3 (21 − 24) = −9 .
	1	1	2		6	7
	1	1	2

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1,

a21x1 + a22 x2

+…+ a2n xn = b2

(1.4)

.................................................

x + a

+…+ a

= b

n1 1

Правило Крамера: если определитель матрицы

a11

a12

… a1n

A =

… a

…

… … …

am1

am2

…

amn

системы (1.4)	отличен от нуля,	то система имеет			единственное решение
(x1 ,…, xn ), определяемое по формулам
	x =	i , i =		,	(1.5)
			1, n
	i
где = det A, а	i − определитель, полученный из определителя матрицы А за-

меной его i-го столбца столбцом свободных членов, i =1, n. Формулы (1.5) на-

зываются формулами Крамера.

2x1 + 3x2 +					x3		=1,
Пример 1.6. Решить систему уравнений 3x1 −		x2 +							по форму-
Пример 1.6. Решить систему уравнений 3x1 −		x2 +			2x3 =1,				по форму-
x	+ 4x		2	−	x	3	= 2
1			2			3
лам Крамера.
	2	3			1
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы A =		−1			1			и вычислим ее
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы A =	3	−1			1			и вычислим ее
		4
	1	4			−1

определитель =	2	3	1
определитель =	3	−1	2	= 2 + 6 +12 +1 −16 + 9 =14 ≠ 0.
	1	4	−1

Значит, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычисляем вспомогательные определители 1, 2 , 3 , заменяя в определителе

1, 2 и 3-й столбцы столбцом свободных членов:

	1	3	1			2	1	1			2	3	1
1 =	1	−1	2	=14,	2 =	3	1	2	= 0,	3 =	3	−1	1	= −14.
	2	4	−1			1	2	−1			1	4	2

По формулам Крамера находим: x1 = 1414 =1; x2 = 140 = 0; x3 = −1414 = −1.

Задачи для самостоятельного решения

			1.25. Вычислить определители:
а)	2		−5					2	9						0	1				2	−1		2				1	4	7


					;		б)				;		в)				;		г)	3	1		5	;		д)	3 0		2	;
	4			3				0	−1						0	2				2	− 4		3				0	−1	3
																				2	− 4		3				0	−1	3
		− 4		0		5				a b						a b						a	b		c


е)		1		2		− 2	;		ж)			;		з)				;		и)		d e f				.
		−1		3		4				0 0						na	nb					a	b		c
		−1		3		4																a	b		c

1.26. Вычислить определители, пользуясь свойствами определителей:


	3 5				7			2						1		− 2 3				4					3 4			2	−1 2 −5
	3 5				7			2						1		− 2 3				4					3 4			2	−1 2 −5
а)	1			2	3			4	;			б)		2		1	− 4 3				;			в)	1			−2	3 2	8	;
	− 2 3				3 2									3		− 4 −1 2									5 6 −4 3 4 3 14 3
	1 3				5			4						4		3	2 −1								2 5 −4 5 1 2 12 5
	−1			1			1		1						1	2	3		4				4	3	0		0
	−1			1			1		1						1	2	3		4				4	3	0		0
г)	1		−1 1						1		;	д)			2 3		4	1		;		е)	1 2 0			0		;
	1			1		−1 1									3 4		1		2				5	4	3		2
	1			1			1		−1						4 1		2		3				1	3	1		4
		2		−1			0		3					1			−1			0		8
		2		−1			0		3					1			−1			0		8
ж)		−1		3			5		4	;		з)	200				− 200			0		1600		;
		4		− 2			0		6					19			20			31		190
		1		2			3		4				1991				1			0		5

	365	275	569			2401	1986
	365	275	569
и)	3	3	3	;	к)			.
	362	272	565			2402	1987
	362	272	565

1.27.Пусть А – квадратная матрица четвертого порядка и ее определитель равен двум. Найти определитель матрицы 3А.

1.28.Пусть А – квадратная матрица пятого порядка и det A = 3. Найти

det(2 A).

1.29.Пусть А – квадратная матрица n-го порядка и det A = b.Найти

det(kA).

1.30.При каком значении α следующие определители равны нулю:

	3 5			;				3 −α 2								1	2	−3				3 −α		0		0
																1	2	−3				3 −α		0		0
а)							б)						;		в)	−1 0		2	;	г)		2		−α 0				;
	1		α					2		−α						1	2	α				10		−5		1
		1	2		5				1	2			α			1	2	α				10		−5		1


д)		0 10 α				;		е)	2 1 0					?
		0	0		5				3	3			α
											a11			a12	… a1n
											a11			a12	… a1n
												0		a22	… a2n
			1.31. Доказать, что									0		0	… a3n			= a11a22 …ann .
											…			…	… …
												0		0	… ann
												0		0	…		0	0		a1n
												0		0	…		0	0		a1n
			1.32. Доказать, что									0 0			… 0			a2 n−1		0			n(n−1)
			1.32. Доказать, что									0		0	… a		3 n−1	0		0	= (−1)			2	a	a	2n−1		…a	n1	.
																	3 n−1								1n		2n−1			n1
											… … …						…	…		…
											an1			0	…		0	0		0

1.33. Вычислить определители, используя теорему о разложении определителя по элементам строки (столбца):

	0	0	2	0		0			3			− 2		1	1
	0	0	2	0		0
	0	1	5	−1		0
	0	1	5	−1		0			0			1		2 0
а)	2 −3 7			2 3			;	б)	0			1		2 0		;
	1	0	− 4	2		0			−1			2		4	2
	1	0	− 4	2		0			1			−3		0	0
	−1	2	0	−1		2			1			−3		0	0
	−1	2	0	−1		2
	2 −3 4 − 2										1		5		− 2 3
	2 −3 4 − 2										1		5		− 2 3
в)	2 −1 3			1	;			г)			0		2		7	1	.
	1	2	−1	0							2	10			−1	5
	3 1		4 −1								−3 −15 − 6 13
								2 −3 4 1
								2 −3 4 1
		1.34. Вычислить определитель						x			y	z	t	, разлагая его по элементам
								4		−2		3	2
								3 −1 4 3
второй строки.
								5 a 2 −1
								5 a 2 −1
		1.35. Вычислить определитель						4	b			4	−3	, разлагая его по элементам
								2		c		3	−2
								4	α			5	−4

второго столбца.

1.36. Вычислить определители:

	a	3	0	5				1		0	2	a				x	a		b	0	c
																x	a		b	0	c
																0	y		0	0	d
	0	b	0	2				2		0	b	0				0	y		0	0	d
а)	0	b	0	2	;	б)		2		0	b	0	;	в)		0	e z 0 f					.
а)	1 2 c 3				;	б)		3		c 4		5	;	в)		0	e z 0 f					.
	0	0	0	d				d		0	0	0				g	h		k	u	l
	0	0	0	d				d		0	0	0				0	0		0	0	v
																0	0		0	0	v
		1.37. Не раскрывая определителей, показать, что они равны нулю:
		a		b		c	1					sin 2 α		1	cos2		α
		a		b		c	1
		b		c		a	1
а)		b		c		a	1		;		б)	sin 2 β		1	cos2 β			;
а)		c		a		b	1		;		б)	sin 2 β		1	cos2 β			;
	b +c		c + a			a +b	1					sin 2 γ		1	cos2		γ
		2		2		2

a + b

x y

ax +by

в)

a b + c

;

г)

t az +bt

;

c + a

au +bv

	3sinα	2 cosα	sin(α +δ)
	3sinα	2 cosα	sin(α +δ)
д)	3sin β	2 cos β	sin(β +δ)	;
	3sin γ	2 cosγ	sin(γ +δ)

	1	+ 2a	2001	a	x
	1	+ 2a	2001	a	x
е)	1	+ 2b	2002	b	x	.
	1	+ 2c	2003	c	x
	1+ 2d		2004	d	x

1.38. Числа 1370, 1644, 2055, 3425 делятся на 137. Доказать, что опреде-

	1	3	7	0
литель	1	6	4	4	также делится на 137.
	2	0	5	5
	3	4	2	5

		1.39. Вычислить определители
		a				a	1	1			a	1	1	1


			1								1	a	1	1

2	=			,	3 =	1	a	1	,	4 =					приведением к треуголь-
		1	a			1	1	a			1	1	a	1
						1	1	a			1	1	1	a
											1	1	1	a

ному виду. На основании полученных результатов доказать, что определите-

…

равен (a +(n −1))(a −1)n−1.

тель n-го порядка

…

… … … … …

…

1.40. Решить уравнения:

4 x

а)

= 0,

б)

1 2

= 0,

в)

x 4

= 0.

−1 0

−1 1

x x 4

1.41*. Пользуясь свойствами определителей, доказать, что следующие определители n-го порядка равны указанным значениям:

	1	1	1	…	1				1	2	3	…	n

									−1	0	3	…	n
	1	0	1	…	1
						n−1			−1	− 2	0	…	n

а)	1	1	0	…	1	= (−1)	;	б)	−1 − 2 −3			… n		= n! .
	… … … … …								… …		… … …
	1	1	1	…	0
									−1	− 2	−3	… 0

1.42. Вычислить определители методом опорного элемента:

		−1 2 7 5							2		−1 3			0				2	1	1 0
		−1 2 7 5							2		−1 3			0				2	1	1 0
а)		1 3	−1	2		;		б)	−1 1			2		3	;	в)		7 1		3 1	.
		2 1	2	3					0		4		−1 −5					3	−1 1 2
		−5 2	−1	3					0		2	1		8				1	3	2 1
		1.43. Проверить непосредственным вычислением, что
	a b e f				=		a b			e f			.
	a b e f						a b			e f

	c d g h						c d			g h
		1.44. Найти det( AB), если det A = 2, det B = −3.
													−1 2				0		1
		1.45. Найти det( AB), если A =												,		B =			.
													0	3		−1			2

1.46. Пользуясь правилом Крамера, решить следующие системы уравне-

ний:

а)	3x + 7 y =			2,			б)
а)	2x + 5y =			;			б)
	2x + 5y =			1;
	3x1 + 4x2			− 2x3			=11,

г) 2x1 − x2 − x3 = 4, ;
	3x − 2x		2	+ 4x		3	=11;
	1		2			3
	5x1 −	x2		+ 4x3			= 25,

е) x1 + 4x2 +3x3 =16, ;
	17x − x		2				=11;
	1		2
	2x1 + x2 + x3 = −1,

з) 2x1 − x2 + 2x3 = −4, ;
	4x + x	2	+ 4x		3	= −2;
	1	2			3

4x −3y −1 = 0, ;						в) x1 + x2
									2x1 − x2
x + 3y − 4 = 0;									2x1 − x2
x1 − x2 + x3								= −2,
д) 2x1 + x2 − 2x3 = 6,
д) 2x1 + x2 − 2x3 = 6,										;
x + 2x		2			+ 3x		3	= 2;
1		2					3
3x1 + x2						+ x3 = 2,

ж) x1 − 2 x2 + 2x3 = −1, ;
4x	−3x			2		− x		3	= 5;
1				2				3
x1 − 2x2 +3x3 =1,
и) 2x1 − x2								= 2, .
3x	−3x		2			+3x	3	= 5.
1			2				3

=0,

=3; ;

1 / 381 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20164.65 Mб398савицкая 2012.pdf
#
10.11.2018976.38 Кб33Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб52самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб64сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб6Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб156сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб483сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб8Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб223Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб11Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•

	•	•	•	•	•	•
	•	•	•	•	•	•
+	•	•	•	•	•	•	–
+	•	•	•	•	•	•