1. Условные числовые характеристики случайных величин

Смешанным начальным моментом распределения порядка k, r для системы случайных величин {ξ, η} называют константу

Условные моменты распределения…

Примечание: Корреляция и ковариация являются родственными понятиями, а если математическое ожидание хотя бы одной из величин оказывается нулевым, то они численно совпадают. Из-за подобного сходства наблюдается даже определенная путаница в использовании данных понятий. В книгах отдельных авторов можно встретить «зеркальное» употребление ковариации и корреляции. Поэтому, начиная работу с новой книгой по теории вероятностей, не полагайтесь на внешнее сходство обозначений; обязательно уточняйте, что именно подразумевается под терминами «ковариация» и «корреляция» в данной книге.

7. Двумерный нормальный закон распределения

Случайные величины и считаются распределенными по двумерному нормальному (гауссовскому) закону, если плотность вероятности системы{ξ, η} может быть записана в виде

,

(6.0)

где параметры могут принимать произвольные значения, а остальные параметры удовлетворяют условиями.

Найдем условную плотность вероятности величины η, входящей в двумерное нормальное распределение

=

Из сопоставления полученного выражения с одномерной нормальной плотностью вероятности ( 3 .0) видно, что приусловная плотность вероятности СВηприобретает вид

.

(6.0)

Она уже не зависит от x и имеет классическое нормальное распределение ( 3 .0). Как следствие,при r = 0можно записать

(6.0)

и, в соответствии с ( 6 .0), величины ξ и η оказываются независимыми.

Отсюда следует важное свойство: некоррелированность нормальных случайных величин означает также и их статистическую независимость.

Проанализируем характеристики суммы двух независимых распределенных нормально случайных величин xиhс параметрамии. Закон распределения суммы независимых случайных слагаемых определяется интегральной сверткой ( ) их законов распределения, что в случае нормального распределения можно записать в виде

.

Для преобразования записанного интеграла полезно принять во внимание, что для произвольных величин jиyсправедливо соотношение

.

Тогда, используя обозначения и, предста­вим сумму показателей экспонент в виде

.

В полученной сумме первое слагаемое не зависит от переменной интегрирования “u”, а второе слагаемое можно записать в виде

,

где A– константа, сложным образом зависящая как от параметров распределений, так и от текущего значения аргументаz.Используя обозначения и, пред­ставим анализируемую свертку в виде

но в таком случае последний интеграл, как результат интегрирования вдоль всей оси аргументов нормальной плотности веро­ятностипо свойству нормировки (???)будет равен единице (независимо от конкретных значений параметров . В итоге, распределение суммы величинxиhпринимает вид

,

(6.0)

т.е.оказывается нормальным распределениемс параметрами

, .

(6.0)

Полученный результат можно обобщить следующим образом:

Сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин с параметрамиподчиняется нормальному распределению с параметрами

, .

(6.0)