7. Типовые законы распределения непрерывных случайных величин

Рассмотрим несколькочасто встречающихся на практике законов распределения непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение нсв

Равномерным называется распределение непрерывной случайной величины, равновероятно принимающей любые вещественные значения из некоторого диапазона с границамиaиb. Плотность вероятности подобной СВ имеет вид, показанный на Error: Reference source not found(а), и определяется выражением

.

(3.0)

Обратите внимание на следующие особенности Error: Reference source not found(а):

1) на участках оси x, соответствующих неравенствам x < a и x > b, значение плотности вероятности равно нулю, указывая невозможность наблюдения в опыте подобных значений;

2) для значений x, лежащих между a и b, плотность вероятности сохраняет фиксированное значение, указывая на равную вероятность наблюдения любых значений из этого диапазона;

3) график плотности вероятности имеет прямоугольную форму и при ширине (b – a) и высоте 1/(b – a) имеет единичную площадь, что успешно согласуется со свойством нормировки ( 3 .0).

Отметим также, что, записывая аналитические выражения для плот­ностей вероятности аналогичные ( 3 .0), обычно ограничиваются лишь строками с ненулевыми значениями, т.е. вместо всей формулы ( 3 .0) приводят лишь верхнюю строку. При этом подразумевается, что на не указанных интервалах изменения аргумента (при прочих x) значение равно нулю.

а) общий вид закона распределения	б) распределение начальной фазы сигнала

Рис. 12. Равномерное распределение непрерывной СВ

Типовой ситуацией, в которой приходится иметь дело с плотностью вероятности ( 3 .0), является распределение начальной фазы гармонического сигнала, формируемого соответствующим генератором. На процесс установления колебаний в генераторе влияют многочисленные случайные факторы и без применения внешней синхронизации любые значения сдвига генерируемых колебаний (в пределах периода) оказываются равновозможными. Это означает, что начальная фаза сигнала оказывается распределенной равномерно в пределах от минус π до π (см. Error: Reference source not found(б)).

2. Нормальное (гауссовское) распределение

Случайная величина называется распределенной нормально, если её плотность вероятности имеет вид

,

(3.0)

где a– произвольная по величине константа, аσ– параметр, принимающий лишь положительные значения.

а) общий вид закона распределения	б) распределение шума на входе приемника

Рис. 13. Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение оказывается одним из важнейших (наиболее востребованных) в теории вероятностей. Оно отличается от других распределений целым набором уникальных свойств и, кроме того, очень часто встречается на практике. Объясняется это существованием центральной предельной теоремы Ляпунова (см. п.???), в соответствии с которой сумма большого числа величин с произвольными законами распределения при не слишком существенных ограничениях ведёт себя как нормально распределенная случайная величина.

Рассмотрим с этих позиций случай приема какого-то полезного сигнала радиоприёмным устройством. Электромагнитное поле вблизи антенны приёмника практически всегда определяется не только этим полезным сигналом, но и многочисленными сигналами других источников, которые по отношению к анализируемой системе играют роль радиопомех. В результате наведенный в антенне сигнал включает не только полезную составляющую, но и шумовую добавку. Её конкретная величина является случайной, а многочисленность слагаемых, образующих этот аддитивный шум, приводит к тому, что закон распределения шума оказывается нормальным. Таким образом, типовой задачей радиоприёма является обработка полезного сигнала на фоне помехи с нормальным распределением.

Расчет вероятности попадания значений нормальной СВ в некоторый диапазон оказывается, к сожалению, несколько проблематичным в связи с тем, что плотность вероятности ( 3 .0) являетсянеинтегрируемойфункцией, т.е. не имеет аналитического выражения для первообразной. Интегралы от ( 3 .0) вычисляются путём их сведения к известным (и представленным практически во всех математических справочниках) специальным функциям, таким как интеграл вероятности Ф(x), определяющий функцию распределения F_ст(x) стандартной нормальной СВ с параметрамиa= 0,σ= 1

(3.0)

или функция ошибок

.

(3.0)

Действительно, используя подстановку , функцию распределения произвольной нормальной СВ можно представить в виде

,

(3.0)

а из таблицы значений F_ст(x), приведенной в прил.??, следует, что и для нормального распределения выполняется свойство нормировки ( 3 .0), т.е. справедливо

.

(3.0)