Для математического ожидания имеем

Таким образом, математическое ожидание логарифмически нормального закона составляет

,

(5.0)

Аналогично, для расчета дисперсии сперва запишем

,

что после применения ( 4 .0) приводит к соотношению

.

В итоге, для дисперсиилогарифмически нормального закона получаем

.

(5.0)

Пример 3: Величина ξ представляет собой случайную начальную фазу гармонического сигнала . Определить закон распределения и числовые характеристики СВ η при равномерном распределении  в пределах от минус  до плюс .

Решение: Поставим в соответствие величине  значение x, величине  – значение y, и обозначим . Тогда для любого конкретного момента времени функция прямого преобразования приобретает вид

.

При любой величине параметра значения полной фазы колебания занимают диапазон длиной 2,, на котором выбранному отклику (не превышающему по модулю A)соответствует ровно 2 значения воз­­действия x. В частности, при согласно Рис. 29 расчет­ные формулы для x зависят от знака величины y:

соответствуюти,

соответствуюти.

Рис. 29. Взаимосвязьпри

Однако, несмотря на некоторые отличия в приведенных расчетных формулах, нетрудно убедиться, что и абсолютные значения производных, и значения плотности вероятности при воздействиях x₁ и x­₂ совпадают между собой и равны

, при.

Учтем, наконец, что горизонтальных участков зависимость не содержит, а потому в универсальной формуле ( 5 .0) первая сумма будет каждый раз представлена двумя слагаемыми, а вторая – отсутствовать. Применяя ( 5 .0), получаем плотность вероятности гармонического колебания

,

(5.0)

Используя соотношение ( 3 .0), нетрудно получить и функцию распределения вероятностей гармонического колебания

,

которую можно представить в виде

, .

(5.0)

Итак, при равномерно распределенной началь­ной фазе мгновенное значение гармонического колебания подчиняется распределению арксинуса (см. п. 4.7.6).

Для расчета числовых характеристик, безусловно, можно воспользоваться базовыми формулами ( 4 .0) и ( 4 .0), однако это потребует вычисления совокупности интегралов, включающих сомножитель ( 5 .0), что не так уж просто. Вместе с тем, ис­пользование ( 5 .0)-( 5 .0) позволяет решить задачу легко. В частности, из периодичности и нечетности функции sin() следует, что все нечетные моменты распределения равны нулю

,

и, в частности, , потому для всех порядков.

Ненулевыми (положительными) являются лишь четные моменты распределения. Например, для имеем

но второе слагаемое в подынтегральном выражении не требует вычислений, т.к. на интервале длиной 2 содержится ровно два периода косинусоиды и, следовательно, при любом  результат подобного интегрирования будет нулевым. Итак, интегрируя лишь первое слагаемое, для дисперсии гармонического колебания получаем

.

(5.0)

Пример 4: Сканирующий радиоприемник выполняет поиск радиосигналов на одной из 6 контрольных частот. Он начинает поиск с контрольной частоты №1, при отсутствии там сигнала переходит к анализу ситуации на частоте №2, затем к частоте №3 и продолжает циклически перестраиваться с частоты на частоту пока не обнаружит где-то полезный сигнал. Для всех контрольных частот вероятность появления полезного сигнала одинакова и составляет 0,04. Определить закон распределения для номера контрольной частоты, на которой остановится поиск.

Решение: Отличие данной задачи от всех предыдущих состоит в том, что анализируемая в ней СВ является дискретной. Более того, поставленная задача может быть решена и без использования представлений о функциональном преобразовании случайных величин. Попробуем всё же рассуждать следующим образом…

Пусть СВ  – это число перестроений, которые совершит приемник до обнаружения полезного сигнала. Ситуация, когда общее число попыток – неограниченное, а вероятность удачного исхода при каждой из попыток остается неизменной уже рассматривалась ранее, например в п. 4.4.2. Это означает, что СВ  обязана иметь геометрическое распределение

P{ ξ = k } =

где –вероятность успеха в отдельной попытке.

Номер контрольной частоты , на которой остановится поиск, является случайным и связанным с числом перестроений  соотношением  = ( MOD 6) + 1, где «m MOD n» - операция вычисления остатка при целочисленном делении m на n. Иначе говоря, событие « = j» наступает при  = (j – 1),  = (j –1 + 6),  = (j –1 + 26)… А это, в свою очередь, означает, что вероятность наступления события « = j» определяется суммой

, 1 j6.

Итоговый ряд распределения СВ  имеет вид

yj	1	2	3	4	5	6
pj	0,1841	0,1767	0,1697	0,1629	0,1564	0,1501

Пример 5: Случайная величина , подчиняющаяся закону распределения Релея с параметром  = 1, подвергается преоб­разованию η =

Определить закон распределения СВ η.

Решение задачи следует начать с построения и анализа графика функциональной взаимосвязи

y = f(x) =

Рис. 30. Взаимосвязьи плотность вероятности воздействия из примера №5

Из графика, представленного на Рис. 30, следует, что значения, наблюдаемые на выходе преобразователя, покрывают диапазон от 0 до 4, однако различным частям этого диапазона соответствует разное число ветвей в обратной функции.

Значениям y  [ 0; 1 ) соответствует по два возможных аргумента x, определяемых ветвями обратной функции x₁ = = φ₁(y) = 2 –и x₂ = φ₂(y) = 2+. На данном участке компоненты, входящие в “сумму по m” формулы ( 5 .0) не потре­буются, а первая сумма (по ветвям обратной функции) будет содержать два слагаемых (см. также ( 3 .0))

W_η( y ) = +=

= ,

а вот значениям из диапазона y  ( 1; 4 ) соответствует лишь единственная ветвь обратной функции x₁ = φ₁(y) = 2+и для подобных значений выходной случайной величины

W_η( y ) = =.

Остаётся лишь определить вероятности наблюдения на выходе значений η = 1 и η = 4, соответствующих левому (до точки x=a на Рис. 30) и правому (после точки x=b) горизонтальным участкам зависимости . Учитывая ( 3 .0), запишем

,

.

Объединяя полученные результаты, плотность вероятности СВ η можно записать окончательно в виде