4. Вероятностное описание случайных величин

   1. Случайные величины и их классификация

Рассматривавшиеся в предыдущих разделах случайные события являются удобным математическим аппаратом в тех случаях, когда в опытах со случайным исходом интересующее нас событие может лишь произойти или не произойти. Если же опыт характеризуется большой совокупностью вариантов завершения, то использовать случайные события оказывается уже не удобно. Например, анализируя прибытие на железнодорожный вокзал какого-то поезда можно, конечно, ограничиться рассмотрением таких исходов как «поезд прибыл вовремя» и «поезд опоздал», но с позиции людей, ожидающих этот поезд, существенной оказывается ещё и степень опоздания. Попытка использовать вспомогательные события, такие как, «опоздал менее чем на 5 минут», «опоздал менее чем на 30 минут» или «опоздал более чем на полчаса» позволяют уточнить ситуацию, однако удачным такой подход также не является. Гораздо практичнее зафиксировать конкретную величину опоздания (равную 0 при своевременном прибытии поезда). Это и приводит нас к понятию случайной величины (СВ)..

Случайная величина — это результат опыта со случайным исходом, представленный в численной форме. Если первая попытка проведения опыта даёт результат x₁, его повторение в тех же условиях влечет появление результата x₂, а последующие попытки завершаются фиксацией значенийx₃,x₄,…x_n, хаотично сменяющих друг друга, то можно говорить о наблюдении случайной величины, множество возможных значений которой включает величиныx₁…x_n. Для обозначения случайных величин условимся в дальнейшем использовать буквы греческого алфавитаξ(“кси”),η(“эта”),ς (“дзета”) и т.п.

Рассмотрим ряд примеров:

1. Пусть случайная величина ξ (“кси”) – это цифра, наблюдаемая после броска игрального кубика на его верхней грани. Тогда множество возможных значений СВ ξ включает ровно 6 цифр – от x₁ = 1 доx₆ = 6.

2. В цифровых системах связи для передачи информации используется ограниченный набор сигналов, так что сигналу, излучаемому передатчиком в каждый конкретный момент времени, обязательно можно поставить в соответствие некий номер, характеризующий расположение передаваемого сигнала в общем перечне разрешенных сигналов. Для любой реальной системы связи содержимое передаваемых сообщений является случайным (т.к. если бы оно было предопределено, то не было необходимости даже включать передатчик), поэтому и порядковый номер сигнала, излучаемого в произвольный момент времени, представляет собой случайную величину η (“эта”). Множество её значений y₁ …y_nявляется ограниченным и упорядоченным, хотя его объем потенциально может быть и весьма большим.

3. Представим себе, что для подсчета посетителей некоторого сайта на нем установили счетчик. Рассмотрим случайную величину ς (“дзета”), представляющую собой число посетителей сайта за первый месяц работы. Естественно, что отрицательных значений СВ ς принимать не может, а вот значениеz₀= 0 хотя и не соответствует нормальной работе сайта, относится к вполне возможным. Любые натуральные числа, естественно, также будут входить в область возможных значенийСВ ς, а вот указать для них какую-то конкретную границу сверху в анализируемом случае проблематично, т.е. область значений оказывается формально не ограниченной.

Во всех рассмотренных примерах значения СВ являлись упорядочиваемыми последовательностями, т.е. их можно было пронумеровать и расположить относительно друг друга в каком­-то конкретном порядке. Подобные множества значений называютсчётными. Случайные величины, обладающие счетным множеством значений, называютдискретными.

Рассмотрим теперь ряд других примеров:

4. Радиотехнические устройства состоят из множества элементов. Даже при самом тщательном контроле технологических особенностей изготовления этих элементов добиться на практике идентичности их параметров невозможно, поэтому, скажем, точное сопротивление некоторого выбранного для проверки резистора всегда представляет собой случайную величину ξ. Диапазон возможных значений СВ ξ при должном качестве изготовления не является широким, однако в пределах этого диапазона сопротивление резистора x_i может быть каким угодно, пробегая всю последовательность вещественных значений.

5. Представим, что в нашем распоряжении имеется множество тщательно откалиброванных однотипных генераторов гармонических колебаний. При одинаковой настройке органов управления этих генераторов они обязаны формировать сигналы одной и той же частоты и амплитуды, однако, если мы проведем реальный эксперимент, используя достаточно точные приборы для измерения параметров излучаемых сигналов, то убедимся, что и частоты, и амплитуды колебаний немного отличаются друг от друга. Итак, частота η (“эта”) и амплитуда ς (“дзета”) конкретного генератора представляют собой случайные величины и могут принимать произвольные вещественные значения в пределах каких-то интервалов на оси частот и напряжений.

Обратите внимание на следующие особенности рассмотренных примеров:

а) значения СВ занимают ограниченные или неограниченные области вещественной оси (иначе говоря, величины оказываются представленными континуумом значений);

б) между любыми двумя «разрешенными» значениями СВ существует бесконечное число промежуточных – также «разрешенных», поэтому предложить какой-то способ упорядочения всего набора значений – невозможно;

в) в пределах области допустимых значений любому невырожденному интервалу можно поставить в соответствие некоторую положительную вероятность наблюдения соответствующих значений, но число отдельных значений СВ, содержащихся в сколь угодно узком интервале, бесконечно велико, и вероятность принятия случайной величиной какого-то конкретного заранее выбранного значения бесконечно малаP{ ξ = x_i} = 0.

Подобные рассмотренным случайные величины, принимающие несчётное множество значений, называютнепрерывными.

6. Проанализируем теперь величину ξ – время наработки на отказ обычной лампочки накаливания, отсчитываемое от момента её первого включения. К возможным значениям СВ относятся любые неотрицательные вещественные числа, однако если в ходе работы все «соседние» моменты времени с позиций опасности выхода лампочки из строя являются однотипными, то в моменты включения и выключения лампочки вероятность её выхода из строя существенно возрастает. Итак, большая часть конкретных значений времени наработки на отказ (аналогично непрерывным СВ) характеризуется бесконечно малыми вероятностями их наблюдения. Но существуют отдельные значения СВ, например, x_i = 0, для которых подобно дискретным случайным величинам вероятности наблюдения оказываются положительными. Случайные величины, подобные рассмотренной, называютсмешанными.

Итак, в зависимости от характеристик множества возможных значений случайные величины можно разделить на

а) дискретные(принимают счетное множество значений);

б) непрерывные(имеют несчетное множество значений, каждое из которых наблюдается с бесконечно малой вероятностью);

в) смешанные (характеризуются несчетным множеством значений, среди которых отдельные конкретные значения наблюдаются с вероятностьюP{ ξ = x_i } > 0 ).