2. Алгебраический метод расчета вероятности событий

Если условия проводимого опыта налагают на наблюдаемые в опыте события одинаковые ограничения, и, следовательно, нет причин, по которым одно из них могло бы появляться чаще, чем какие-либо другие события из рассматриваемого множества, то подобные события (исходы) называютравновозможными.

Примеры равновозможных событий:

1) выпадение после броска симметричного игрального кубика на его верхней грани цифр “1”, “2”, “3”, “4”, “5” или “6”;

2) наблюдение в произвольно выбираемый момент времени значения положительной или отрицательной полярности на клеммах включенного генератора гармонических сигналов.

Представим, что множество всех исходов, которымиможет завершиться проводимый опыт, ограничено и включает взаимоисключающихравновозможных исходов. И пусть анализируемое событие A совершается при наступлении исходов из некоторого подмножества, включающегоисходов. Чем больше количество благопри­ятных для события A исходовпо отношению к общему числу имеющихся исходов, тем, очевидно, выше объективная возможность наблюдения события A в продолжительной серии опытов. Это утверждение и составляет основу алгебраического метода расчета вероятности.

Вероятностьлюбого событияA, наблюдаемого при проведении опыта, характеризуемого взаимоисключающими равновозможными исходами,может быть рассчитана как

,

(1.0)

где – число исходов,благопри­ятных для события A.

Пример 1: После подбрасывания симметричного игрального кубика вероятность выпадения на верхней грани числа, нацело делящегося на 3, составляет , т.к. из общего числа исходов, благоприятными для наступления исследуемого события являются случая, когда на верхней грани кубика появляются “3” или “6”.

Пример 2: Если из набора костяшек для домино случайно выбирается одна, то вероятность того, что сумма значений на обеих половинках выбранной кости не превзойдет 2, составляет , т.к. из общего числа костей, подходящими для наступления исследуемого события являются случая, включающие элементы “0-0”, “0-1”, “0-2” и “1-1”.

В более сложных случаях для расчета числа различных исходов, соответствующих проводимому опыту, могут оказаться полезными следующие правила:

Правило суммы.Если объектAможет быть выбранспособами, а объектB–другимиспособами, то выбор “либоA, либоB” можно осуществитьспособами.

Правило произведения.Если объект A может быть выбранспособами ипосле каждогоиз таких выборов объектBв свою очередь может быть выбранспособами, то выбор “AиB”в указанном порядкеможно осуществитьспособами.

Пример 3: Из набора костяшек для домино наугад выбираются две кости. Какова вероятность того, что выбранные кости можно будет приложить друг к другу (т.е. они будут содержать совпадающие по очкам половинки)?

Воспользуемся для расчета общего числа исходов правилом произведения, подсчитывая упорядоченные пары элементов. Первой можно выбрать любую из 28 костяшек, тогда для выбора второй кости остается 27 вариантов, а общее число исходов будет равно .

При подсчете числа благоприятных исходов необходимо отдельно рассмотреть 7 случаев, когда вытащенная первой кость будет “дублем”, т.е. будет содержать совпадающие половинки. В каждом из этих случаев для получения “парных” костей существует по 6 вариантов выбора второй костяшки. Например, при выборе первой кости “4-4” второй необходимо выбрать одну из костей “0-4”, “1-4”, “2-4”, “3-4”, “5-4” или “6-4”. В результате, .

Если же первая кость содержит несовпадающие половинки (таких случаев 21), то вторую можно выбрать 12 способами. Например, для костяшки “3-5” подходящую пару могут составить кости “0-3”, “1-3”, “2-3”, “3-3”, “4-3”, “6-3”, а также “0-5”,“1-5”,“2-5”,“4-5”,“5-5” и “6-5”. Это порождает еще благоприятных исходов.

Учитывая, что к относятся исходы, отличающиеся от учтенных в, по правилу суммы общее число благоприятных исходов . Таким образом, вероятность выбора сочетающихся костей домино составляет .

Пример 4 (Парадокс де Мере): В результате продолжительных наблюдений француз де Мере подметил, что при одновременном броске 3 игральных кубиков комбинация, дающая в сумме 11 очков, выпадает более часто, чем комбинация, дающая в сумме 12 очков, хотя (с его точки зрения) эти комбинации являются равновероятными. Де Мере рассуждал следующим образом: 11 очков можно получить шестью различными способами (6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3), и столькими же способами можно получить 12 очков (6-5-1, 6-4-2, 6-3-3, 5-5-2, 5-4-3, 4-4-4). Равенство же числа благоприятных исходов для двух рассматриваемых событий должно приводить и к совпадению частоты их наблюдения.

Ошибка де Мере была указана знаменитым Паскалем, который заметил, что рассматриваемые де Мере исходы в данной задаче не являются равновозможными. Нужно учитывать не только очки, но и то, на каких именно кубиках они выпадают. Например, пронумеровав кубики и выписывая выпадающие очки в соответствующей последовательности, легко увидеть, что комбинация 6-4-1 соответствует следующим (в действительности равновероятным) случаям: “6-4-1”, “6-1-4”, “4-6-1”, “4-1-6”, “1-6-4” и “1-4-6”, а комбинация 4-4-4 реализуется лишь в единственном случае совпадения выпавших значений на всех кубиках.

Равновероятными в данном опыте являются исходы, описываемые тройками чисел (a-b-c), где a – число на верхней грани первого кубика, b – число, выпавшее на втором кубике, c – число на третьем кубике. Нетрудно подсчитать, что всего имеется подобных равновозможных исходов. Из них событиюA = “сумма выпавших очков равна 11” благоприятствуют случая, а событию B = “сумма выпавших очков равна 12” соответствуют исходов. Это и приводит к более частому выпадению 11 очков.

Отметим, однако, что непосредственный подсчет как об­щего числа равновозможных исходов, так и количества среди них благоприятных для наступления исследуемого события может оказаться весьма непростой задачей. Существенную помощь при подобном расчете может оказать знание основ комбинаторики.