5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения

Проверку правильности результатов вероятностных расчетов можно осуществлять путем статистического моделирования. Подробную информацию о методах статистического моделирования можно найти, например, в [???]. Вместе с тем, рассмотренного к настоящему моменту теоретического материала вполне достаточно для освоения способа получения случайной величины с любым заранее заданным законом распределения из СВ с равномерным распределением.

Пусть распределенная равномерно на интервале от 0 до 1 СВ ξ подвергается некоторому функ­циональному преобразованию, обратная функция которого имеет единственную ветвь, где – некая функция распределения (ФРВ). Плотность вероятности для0≤x≤1, а ФРВ убывающей быть не может, поэтому, где – соответствующаяплотность вероятности.В результате,

т.е. закон распределения СВ на выходе преобразователя совпадает с произвольно выбранной функцией .

Итак, для преобразования СВ ξ, распределенной равномерно на интервале от 0 до 1, в новую СВ η, обладающую функцией распределения , следует применить к ней функциональное преобразование

,

(5.0)

где – функция, обратная зависимости .

Пример 6: Найти правило формирования из равномерно распределенной величины ξ СВ с законом распределения Коши.

Решение: Закон Коши характеризуется функцией распределения ( 3 .0). Перепишем эту ФРВ в виде

.

и выразим отсюда y как функцию x. В результате, для преобразования равномерно распределенной ξ в СВ, подчиняющуюся закону распределения Коши, получим соотношение

, 0≤x≤1.

(5.0)

Пример 7: Найти правило получения СВ, распределенной по закону арксинуса ( 3 .0).

Решение: Закону арксинуса соответствует функция распределения ( 3 .0). Переписывая её в виде , имеем

, –U ≤ y ≤ U.

Решая это уравнение относительно y, получаем правило преобразования СВ ξ в величину с распределением арксинуса

, 0≤x≤1.

(5.0)

Пример 8: Разработать правило формирования СВ, подчиняющейся закону распределения Релея с параметром σ.

Решение: Запишем функцию распределения релеевской СВ ( 3 .0) в виде зависимости , а именно

, y≥ 0.

Выражая отсюда y как функцию x, получим

.

Если учесть, что в рассматриваемом случае распределения величин ξ и (1-ξ) – совпадают, то для преобразования равномерно распределенной величины ξ в релеевскую СВ можно предложить соотношение

, 0≤x≤1.

(5.0)

Пример 9: Найти правило формирования СВ с показательным распределением.

Решение: Запишем функцию распределения ( 3 .0) в виде зависимости и выразим y как функцию x

.

Вновь учитывая совпадение распределений ξ и (1-ξ), для формирования из равномерно распределенной СВ ξ величины η, подчиняющейся показательному распределению, получим правило

, 0≤x≤1.

(5.0)

Примечание: О формировании нормальных случайных величин будет говориться в п. ???

7. Системы случайных величин

   1. Понятие системы случайных величин (многомерной случайной величины)

До сих пор рассматривались опыты со случайным исходом, результат которых можно было описать единственным числом. Например, направление из точки приема на обнаруженный источник радиоизлучения (азимут) или значение напряжения на выходе некоторого электронного устройствамогли служить примерами случайных величин, которые мы в дальнейшем будем называть одномерными.

Однако существует множество ситуаций, когда результат опыта может быть представлен лишь совокупностью чисел: например, при описании места расположения обнаруженного источника радиоизлучения или состояния сложного радиотехнического устройства. Совокупность СВ, характеризующих результат конкретного опыта со случайным исходом, принято называть системой случайных величин или многомерной случайной величиной. Для обозначения систем СВ будем использовать перечисление входящих в них случайных величин, заключая их в фигурные скобки: например, { ξ, η } – это двумерная СВ или система из случайных величин ξ и η.