Понятие закона распределения случайной величины
Друг от друга случайные величины отличаются не только множеством своих возможных значений, но и распределением вероятностей практического наблюдения этих значений.
Правило, определяющее вероятности принятия случайной величиной её возможных значений, называют еёзаконом распределения. Конкретных форм (способов) представления подобного правила может быть очень много; закон распределения может быть задан текстовым описанием, формулой, таблицей, рисунком и т.п. Выбор способа записи закона распределения определяется типом (особенностями поведения) СВ, а также решаемой задачей. Наиболее употребительные варианты записи закона распределения и взаимосвязь между ними будут представлены в следующих 3 подразделах пособия.
Ряд распределения дискретной случайной величины
Ряд распределения– это табличная форма представления закона распределения, используемая для описания свойств дискретных случайных величин (ДСВ). Таблица, образующая ряд распределения, состоит из 2 строк, в первой из которойв порядке возрастанияперечисляются возможные значения ДСВ, а во второй – приведены вероятности наблюдения каждого из этих значений.
Таблица
Общий вид ряда распределения случайной величины
|
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
|
pi |
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pn |
Предполагается, что верхняя строчка таблицы должна включать в себя все возможные значения СВ (при бесконечном их количестве после нескольких начальных элементов в таблице указывают способ расчета (предсказания) последующих значений).
Соответственно, набор событий Ai = { = xi }, рассматриваемый для всех возможных значений случайной величины (для всехi), обязательно образует полную группу событий, и для величинpi = P{ = xi }, заполняющих нижнюю строку ряда распределения, справедливы соотношения
|
|
(3.0) |
Нижнюю строчку в ( 3 .0) называют свойством нормировкиряда распределения.
Пример 1: Из набора костяшек для домино случайным образом выбирается одна кость. Величина равна абсолютной величине разности значений на разных половинках этой кости. Необходимо построить ряд распределения СВ .
Решение:Наименьшим значением СВ является нулевое, наблюдаемое при выборе «дубля». В набор входит 7 дублей, поэтому вероятность подобного выбора среди 28 костяшек набора составляет P{= 0}= 7 / 28.Ровно на единицу отличаются значения на костяшках “0-1”, “1-2”, “2-3”, “3-4”, “4-5” и “5-6”, таким образом P{= 1}= 6 / 28. Отличие на 2 наблюдается для 5 костяшек, на 3 – для 4, на 4 – для 3, на 5 – для 2. Наконец, наибольшая разница, порождающая значение = 6, соответствует выбору костяшки “0-6” и наблюдается с вероятностью P{= 6}= 1 / 28. Как следствие, ряд распределения исследуемой величины приобретает вид
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
pi |
7/28 |
6/28 |
5/28 |
4/28 |
3/28 |
2/28 |
1/28 |
Суммируя вероятности, составляющие нижний ряд приведенной таблицы, нетрудно заметить, что свойство нормировки для неё выполняется.