6. Распределение арксинуса

Распределение арксинуса зависит от единственного неотрицательного параметра U.Оно характеризуется плотностью вероятности

, –U ≤ x ≤ U,

(3.0)

и функцией распределения

, –U≤x≤U.

(3.0)

Распределению арксинуса подчиняется, например, координата точки, колеблющейся по закону вида

(3.0)

при условии, что замеры производятся в случайные моменты времени t, равномерно распределенные в пределах периода колебания.

7. Распределение константы

Величину ξ, принимающую в каждом опыте одно и то же значение a, можно рассматривать как вырожденный вариант случайной величины. Из бесконечного числа точек осиxв этом случае лишь в единственной точкеx=aплотность вероятности отлична от нуля, причем в числителе определения ( 3 .0) стоит фиксированная вероятность P{x=a} = 1, поэтому при знаменателе Δx→0 плотность вероятности бесконечно велика. Во всех остальных точках . Соответствующий результат аналитически записывается посредством дельта-функ­ции (о дельта-функ­ции подробнее говорится в прил2)

.

(3.0)

Рис. 17. Плотность вероятности константы

8. Пример и особенности распределения смешанных случайных величин

Проанализируем работу прожектора, использующего для создания светового потока мощную лампу накаливания. При включении малое сопротивление пока ещё холодной нити лампы является причиной возникновения значительного по интенсивности импульса тока. Протекающий ток нагревает нить лампы, её сопротивление растет, а сила тока снижается. Таким образом, в рабочем режиме выход прожектора из строя хотя и возможен, но маловероятен, а вот вероятность повреждения лампы начальным мощным броском тока довольно велика.

Пусть случайная величина ξ – это астрономическое время между моментом первого включения прожектора с исходно работоспособной лампой и моментом его выхода из строя из-за перегорания нити лампы накаливания. При построении функции распределения СВξследует учесть, что каждому моменту включения прожектораt_{вкл i}соответствует скачкообразное увеличение вероятностиP{ξ<t_{вкл i} }, по ходу работы прожектора вероятностьP{ξ<t } нарастает плавно, а с момента выключения прожектора и до очередной точкиt_{вкл (i+1)}вероятность выхода из строя сохраняется без изменений (возможность механических повреждений прожектора мы не рассматриваем). Таким образом, функция распределения СВ ξ имеет вид, показанный на Рис. 18. Плотность вероятности, получаемая в результате её дифференцирования, представлена на Рис. 19.

Как из вида функции распределения, так и из характера плотности вероятности видны особенности поведения величиныξ. Бесконечные значения плотности вероятности в точкахx=t_{вкл i}указывают на превышающую ноль вероятность наблюдать в опытах строго значенияξ = t_{вкл i}. Такое поведение характерно для дискретных СВ. Конечная же величина для диапазоновt_{вкл i}<x<t_{откл i}указывают, что вероятность получения в экспериментах отдельных (конкретных) точек из этих диапазонов бесконечно мала, и лишь имеющим положительную протяженность диапазонам значений ξ соответствует положительная вероятность наблюдения. Эта особенность характерна для непрерывных СВ. Обе же перечисленные особенности, наблюдаемые вместе, указывают на смешанный характер распределения СВξ.

Особенностью аналитического выражения плотности вероятности любой смешанной СВ является обязательное присутствие в нём слагаемых вида, гдеx_i– это отдельные значения СВ, наблюдаемые с положительной вероятностьюP_i

.

(3.0)

Обратите внимание, что добавление к дельтообразных слагаемых не нарушает описания свойств СВ, так как в точкахx_iзначение плотности вероятности всё равно бесконечно велико, а во всех остальных точках дельта-функции принимают нулевые значения и любое их количество никак не искажает.

Рис. 18. Функция распределения времени ξ до перегорания нити прожектора

Рис. 19. Плотность вероятности времени ξ до перегорания нити прожектора