9. Примеры исследования вероятностных характеристик случайных величин

Пример 4: Непрерывная случайная величина характеризуется плотностью вероятности вида

,

(3.0)

где λ – известная положительная константа (параметр распределения); β – неизвестный поправочный коэффициент. Необходимо определить значение коэффициента β и построить функцию распределения величины .

а) плотность вероятности	б) функция распределения

Рис. 20. Распределение случайной величины из примера 4

Решение: Коэффициент β действительно не может быть произвольным по величине. Он должен быть положительным, т.к. иначе формула ( 3 .0) будет порождать отрицательные значения , противоречащие свойству ( 3 .0), а среди положительных значений β допустимым будет только то, которое обеспечит выполнение свойства нормировки ( 3 .0). При интегрировании плотности вероятности ( 3 .0) учтем, что она является чётной функцией аргумента x, а в диапазон интегрирования от 0 до бесконечности входят лишь неотрицательные значения x, для которых , поэтому знак модуля в подынтегральном выражении можно опустить:

.

Приравнивая полученную дробь 1, как требует свойство нормировки ( 3 .0), приходим к заключению .

Основой для расчета функции распределения случайной величины служит соотношение ( 3 .0). При его использовании следует четко представлять, что целью расчетов является получение именно функции, т.е. зависимости вероятности отнеизвестного заранее аргумента x₀.

Несложно убедиться, что применение ( 3 .0) в анализируемом примере приводит к разным промежуточным выкладкам при отрицательных, и при положительных значениях x₀. Действительно, при вычислении интеграла ( 3 .0) для отрицательных значений x₀ интегрирование производится лишь по нарастающему (левому на Рис. 20(а)) участку , где

.

Для положительных значений x₀ в интервал интегрирования попадает точка излома x = 0, где характер подынтегрального выражения скачкообразно изменяется и для вычисления интеграла, область интегрирования необходимо разбивать на интервалы, в пределах которых выражение, от которого берется модуль, сохраняет знак неизменным. В рассматриваемом примере это означает

.

Таким образом, итоговое аналитическое выражение для функции распределения оказывается составным

.

График этой функции распределения показан на Рис. 20(б).

Пример 5: Плотность вероятности СВ имеет вид

.

(3.0)

Найти вероятность наблюдения значений СВ, принадлежащих диапазону  < 2,34.

Решение: Расчет вероятности попадания значений СВ в диапазон с границами от a до b по известной плотности вероятности производится с использованием правила ( 3 .0). В рассматриваемом случае границами диапазона являются a = –∞ и b = 2,34.

Дельта-функция, определяющая первое слагаемое плотности вероятности, становится бесконечно большой в точке x = –6, принадлежащей анализируемому диапазону, поэтому

.

Напротив, дельта-функция из второго слагаемого уходит в бесконечность в точке x = +8, не входящей в интервал интегрирования, поэтому

.

Рассмотрим отдельно и последний интеграл, предполагаемый ( 3 .0). Используя замену переменных , его можно представить в виде

.

Здесь учтено, что для функции вида «exp(–z²/2)» невозможно аналитически записать первообразную, поэтому рассматриваемый интеграл следует привести к известной табличной спец­функции. Во второй строке выражение в квадратных скобках как раз и соответствует виду функции распределения стандартной нормальной случайной величины, значения которой в табличной форме представлены в прил. 2. Если бы верхний предел интегрирования для выражения в квадратных скобках составлял ровно 0,6, то (согласно прил. 2) значение интеграла было бы равно 0,7258. Для расчета интеграла при верхнем пределе 0,67 учтено, что между представленными в таблице с шагом 0,1 значениями аргумента результат интегрирования – функция F_ст(x) – ведет себя практически линейно, нарастая между точками x = 0,6 и x = 0,7 на величину 0,0322. Тогда пропорциональное приращению аргумента на 0,07 увеличение функции F_ст(x) может быть приближенно получено как 0,0322  0,07 / 0,1.

Завершая решение задачи, объединим проанализированные выше интегралы

.

Это и будет ответом на вопрос задачи.

Пример 6: Дан график функции распределения вероятностей (ФРВ) случайной величины. Как он изменится, если приба­вить к СВ константу a, если умножить СВ на 2, если изменить знак СВ на противоположный?

Решение: Пусть случайная величина η получается при добавлении к значениям СВ ξ константы a. Тогда, очевидно, для произвольного значения y вероятность наблюдения значений η < y будет совпадать с вероятностью выполнения для СВ ξ неравенства ξ < ( y – a ). Таким образом, для ФРВ получаем

,

т.е. ФРВ величины η оказывается смещенной на величину a вправо вдоль оси аргумента.

Теперь рассмотрим случай, когда случайные величины ξ и η оказываются связанными соотношением η = 2·ξ. В этом случае, очевидно, равными оказываются вероятности наблюдения событий η < y и ξ < (y / 2). Как следствие, для функций распределения получаем соотношение

.

Это соответствует двукратному растяжению графика ФРВ величины η (вдоль оси аргумента) по отношению к графику ФРВ величины ξ.

Наконец, если случайные величины связаны между собой соотношением η = –ξ, то совпадающими оказываются вероятности осуществления событий η < y и ξ > –y. Это озна­чает, что функции распределения связаны правилом

,

т.е. график ФРВ величины ξ нужно развернуть вдоль верти­кальной оси, а затем каждую полученную ординату вычесть из единицы (см. Рис. 21).

Рис. 21. ФРВ из примера 6

Пример 7: В пространстве трёх измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме v пространства есть случайная величина, подчиняющаяся закону Пуассона со средним значением a = λ·v, где λ – среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния ρ от любой точки пространства до ближайшей к ней случайной точки.

Решение: В соответствии с ( 3 .0) вероятность того, что сфера радиуса r с центром в заданной точке пространства не будет содержать ни одной из случайно распределенных точек, определяется выражением

,

где – объем сферы радиусаr.

Функция распределения расстоянияρ до ближайшей из случайных точек есть вероятность того, что в сферу радиуса r попадет хотя бы одна из этих точек, т.е.

.

Соответственно, плотность вероятности для величины ρ будет иметь вид

, r > 0.