10. Интегральная формула полной вероятности

На практике можно встретить ситуации, когда вероятность наступления какого-то событияAзависит от того, какое значение приняла НСВ ξ с плотностью вероятности.

В подобной ситуации полезно представить ось аргументов x состоящей из множества элементарных участков ширинойdx. Принадлежность СВ ξ участку, начинающемуся в точкеx, представляет собой случайное условие проведения опыта – одну из гипотез, которые можно поставить в соответствие анализируемой ситуации. Вероятность реализации данной гипотезы составляет приближенно.

Обозначим условную вероятность наступления событияAпри условии, что СВ ξ приняла значениеx. Тогда, учитывая, что для достижения максимальной точности следует использовать, а при этом каждое из слагаемых суммы ( 2 .0) будет становиться бесконечно малым и сама сумма из дискретной превращается в интегральную, запишем

.

(3.0)

Эту формулу называют интегральной формулой полной вероятности.

Соответствующий аналог можно предложить и дляфор­мулы Байеса. Взяв за основу равенство, перепишем его, заменяя априорную вероятностьэлементом вероятности , а– элементом , где– условная плотность вероятности СВ ξ, соответствующая тем опытам, в которых наблюдалось событие A. Получаем

,

откуда в качестве интегральной формулы Байеса запишем

,

(3.0)

где – полная вероятность событияA, определяемая ( 3 .0).

5. Числовые характеристики случайных величин

Рассмотренные в предыдущем разделе функция распределения и плотность вероятности дают полную ха­рактеристику случайной величины. Однако в ряде ситуаций о слу­чайной величине достаточно иметь лишь некоторое общее пред­ставление. Аналогичное положение имеет место тогда, когда вместо описания мельчайших подробностей геометрической формы твердого тела ограничиваются такими его числовыми характеристиками, как длина, ширина, высота, объем, момент инерции и т. д.

Следует также иметь в виду, что в задачах, где по известному закону распределения нужно вычислить иные характерис­тики СВ, полнота описания свойств случайной величины, обеспечиваемая функцией распределения или плотностью вероятности, оказывается крайне полезной. Если же, напротив, закон распределения неизвестен и необходимо оценить его по резуль­татам наблюдения значений СВ, то для сбора информации, соответствующей полному описанию свойств СВ, требуется бесконечный по объему эксперимент. Даже по обширным экспериментальным данным можно лишь ответить на вопрос: противоречат собранные данные некоторому ожидаемому закону распределения или нет. Но установить единственный «правильный» закон распределения на основе результатов измерений – невозможно.

Числовые характеристики случайной величины представляют собой совокупность констант, каждая из которых характеризует какую-то особенность поведения этой СВ. Например, характеристикой положения СВ может служить среднее арифметическое её значений, определяющее точку, около которой группируются возможные значения этой СВ. Рассмотрим дискретную СВ, характеризуемую рядом распределения:

ξ	xi	x1	x2	x3	…	xm
	pi	p1	p2	p3	…	pm

Проведем nнезависимых измерений значений этой СВ. Если число измеренийnвелико (заметно превышает количество различных значений СВ m), то наблюдаемые в опытах значения СВ будут многократно повторяться. Предположим, что значениеx₁появилосьn₁раз, значениеx₂ → n₂раз и т.д.; при этом. Среднее арифметическое наблюдавшихся значений будет определяться представленной ниже формулой, в которой отношенияхарактеризуют частоту наблюдения значенияx_iв проведенной серии измерений. При увеличении числа измерений эти частоты становятся всё более стабильными (предсказуемыми) и присходятся к вероятностямp_i:

.

(4.0)

Таким образом, при большом числе случайных измерений их среднее арифметическое становится вполне предсказуемым.