2. Преобразование непрерывных случайных величин

   1. Базовый случай

Рассмотрим теперь случай, когда СВ ξ, воздействующая на вход преобразователя (Рис. 24), является непрерывной, а функ­­ция y = f( x ) не содержит горизонтальных участков(пример по­дходящей функции показан на Рис. 25). Тогда каждое выходное зна­чениеyможет быть получено из конечного числа ар­гументовx, т.е. существуетконечнозначнаяобратная функцияx=φ_i(y), гдеi– номер ветви об­ратной функцииφ(·). В частности, для случая, представленного на Рис. 25, обратная функция является однозначной дляy( –;y₀ ] и трехзначной дляy[y₀;y₁ ] (три разных значения =φ₁(y^*), =φ₂(y^*) и=φ₃(y^*) соответствуют одному и тому жеy^* ).

Рис. 25. Пример функци­ональной зависимости с конечнозначной обратной функцией

В соответствии с определением ( 3 .0)

.

(5.0)

Оценим стоящую в числителе вероятность .

Для этого проконтролируем, сколь сильно нужно изменить , чтобы на выходе вместо y^*наблюдалось значение (y^*+ Δy).

Согласно Рис. 25 существуют 3 несовместных случая, когда СВηбудет попадать в нужный диапазон значений:

1. Входная величина ξ лежит в интервале от до (). При малом интервалевероятность подобного события равна;

2. Величина ξ лежит в интервале от () до . Порядок следования граничных точек здесь изменен в связи с тем, что при положительном приращении изменение аргументаx будет отрицательным, т.е. . Соответственно, в расчетном выражении для вероятности следует использовать абсолютное значение величины, а имен­но;

3. Значение ξ может лежать в интервале от до (). Здесь , однако если при расчете вероятности использовать знак модуля, то выражение останется вполне корректным.

Вероятность того, что в конкретном опыте произойдет какое-то из этих несовместных событий в соответствии с ( 2 .0) определяется суммой

.

(5.0)

Этот результат будет тем точнее, чем меньше величины , которые будут уменьшаться вслед за.

Подстановка ( 5 .0) в числитель ( 5 .0) приводит к необходимости оценивать величины отношений , но для зависимостиx=φ(y) приращенияоказываются приращениями функции, возникающими в ответ на приращение её аргументау. Отношение этих приращений при условииприводит нас, по сути, к определению производной функцииx=φ_i(y)

.

Объединяя собранные факты воедино, приходим к выводу:

Если для каждого возможного значения выходной СВ ηобратная функция оказывается конечнозначной, то закон распределенияηопределяется правилом , (5.0) где суммирование идет по всем ветвям обратной функции.

2. Анализ функционального преобразования при бесконечнозначной обратной функции

К сожалению, формула ( 5 .0) не является универсальной. Например, её затруднительно применить к случаю, представленному на Рис. 26. Ранее предполагалось, что для каждого аргу-

Рис. 26. Пример функци­ональной зависимости с бесконечнозначной обратной функцией

мента y существует конечное число ветвей обратной функции, определяющее число слагаемых в сумме ( 5 .0). Но согласно Рис. 26, для получения на выходе значенияy₁достаточно подать на вход любое воздействие из диапазонаa₁≤x≤b₁. Аналогично, количество аргументов x, соответствующих выходному уровнюy₂, бесконечно велико – это любые значения из диапазонаa₂≤x≤b₂.

Для преодоления затруднений полезно вспомнить, что в соответствии с п.4.2, под законом распределения понимается правило, определяющее вероятности принятия случайной величиной её возможных значений, а вероятности наблюдения на выходе значенийy₁и y₂определить легко. Действительно,

.

(5.0)

Полученный результат указывает, что значения СВ ηможно раз­делить на 2 отличающиеся по свойствам группы:

1. набор значений из диапазоновη <y₁,y₁<η <y₂,η >y₂, где каждая реакция на выходе возникает в ответ на един­ственное конкретное подаваемое на вход воздействие; вероятность наблюдения каждого конкретного значения из этой группы бесконечно мала;

2. уровни, строго равные y₁иy₂, наблюдаемые сположительнойвероятностью, определяемой ( 5 .0).

Величины ηс подобными свойствами уже рассматривались в п. 4.8 и назывались смешанными случайными величинами. Согласно ( 3 .0), для записи плотности вероятности такой СВ достаточно к выражению, определяющему непрерывную часть зависимости, добавить δ-образные слагаемые, соответствующие значениям, наблюдаемым с положительной вероятностью.

Дополняя правило ( 5 .0) набором δ-образных слагаемых с вероятностями, определяемыми ( 5 .0), приходим к результату:

Плотность вероятности отклика η нелинейного преобразователя на воздействие СВξс законом распределенияв общем случае может быть рассчитана по правилу , (5.0) где первая сумма включает все ветви обратных функций по всем наклонным участкам зависимости y=f(x), вторая сумма – все горизонтальные участки той же самой зависимости, а вероятностирассчитываются в соответствии с ( 5 .0).