2. Вероятностное описание систем дискретных св

Если входящие с систему СВ принимают лишь счетное множество значений, то сочетания возможных значений СВ могут быть отражены в табличной форме, что позволяет описывать свойства подобной системы в форме матрицы распределения, представляющей собой многомерный массив. В частности, для системы 2 случайных величин матрица распределения принимает вид

yj xi	x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p11	p21	…	pi1	…	pn1
…	…	…	…	…	…	…
yj	p1j	p2j	…	pij	…	pnj
…	…	…	…	…	…	…
ym	p1m	p2m	…	pim	…	pnm

Значения x_i и y_j, принимаемые случайными величинами ξ и η, могут произвольными (их лишь принято упорядочивать по возрастанию), а вот для вероятностей появления в опыте их конкретного сочетания должны выпол­няться следующие свойства:

1) Как и для любых иных вероятностей

.

(6.0)

2) Все сочетания значений являются взаимоисключающими, но какое-то из них в результате проведения опыта обязано появиться, поэтому

.

(6.0)

3) Объединяя случаи, соответствующие отдельной j-й строке таблицы, мы оцениваем возможность появления конкретного значения η = y_j вместе хоть с каким-то значением СВ ξ; это означает отказ от контроля над СВ ξ и переход к закону распределения лишь величины η

.

(6.0)

Аналогично для столбцов матрицы распределения

.

(6.0)

Это свойство является проявлением принципа: вероятностные характеристики системы случайных величин содержат всю информацию о каждой из СВ, входящих в данную систему.

Пример 1: Найти законы распределения случайных величин из системы {ξ, η}, свойства которой задаются матрицей

yj xi	x1	x2	x3
y1	0,12	0,25	0,25
y2	0,06	0,18	0,14

Решение: Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности наблюдения различных значений СВ ξ. Проделав ту же операцию для строк, получим ряд распределения СВ η.

xi	x1	x2	x3		yj	y1	y2
pi	0,18	0,43	0,39		pj	0,62	0,38

3. Функция распределения системы случайных величин

Функция распределения вероятностей(ФРВ) системы случайных величин определяет вероятность того, что каждая из СВ, входящих в систему, примет в опыте значение, меньшее соответствующего аргумента ФРВ

.

(6.0)

Прим.: Здесь и далее перечисление нескольких требований через запятую будет считаться эквивалентным пересечению событий.

Рассмотрим основные свойства ФРВ системы двух СВ:

1. Это безразмерная функция, принимающая значения

.

(6.0)

2. Существенное уменьшение даже одного (любого) из аргументов ФРВ осложняет выполнимость набора требований, определяемых ( 6 .0), поэтому

; .

(6.0)

3. Близость значения ФРВ к 1 можно гарантировать, лишь обеспечив возможность выполнениявсехнеравенств, поэтому

.

(6.0)

4. Значительное повышение лишь одного из аргументов означает, по сути, отказ от попыток контроля над значением соответствующей случайной величины. Это позволяет получить правило выделения из ФРВ системы информации, характеризующей свойства отдельной СВ

; .

(6.0)

5. Функция распределения является неубывающей по каждому изсвоих аргументов, т.е. для любых

,

(6.0)

и для любой пары аргументов y, таких что

.

(6.0)

Вероятности же попадания значений системы СВ в определенные заранее заданные области требуют отдельного обсуждения.

С геометрических позиций значение ФРВ системы случайных величин определяет вероятность принадлежности точек - результатов опыта, квадранту координатной плоскости, расположенному левее и ниже точки с координатами и заштрихованному на Рис. 31.

Рис. 31. Геометрический смысл ФРВ системы СВ

Разобьем этот квадрант горизонтальной линией, проходящей на уровне y₁на верхнюю (заштрихованную на Рис. 32) полосу и нижний квадрант, граничной точкой которого служит точка с координатами . Попадание в каждую из этих областей составляет два несовместных события, и потому вероятность по­падания в исходную общую область, равная, обязана складываться из вероятностипопадания в новый нижний квадрант и вероятности попадания в заштрихованную полосу.

Рис. 32. Расчет вероятности наблюдения значений из полосы

Таким образом, вероятность попадания значений системы СВ в полосу, показанную на Рис. 32, определяется выражением

.

(6.0)

Для оценки вероятности попадания значений системы СВ в прямоугольник, показанный на Рис. 33, продлим мысленно его верхнюю и нижнюю границы влево до бесконечности. Тогда прямоугольник будет содержать те точки горизонтальной полосы, ограниченной справа вертикальнойлиниейx=x₂, которые не вошли в состав другой аналогичной полосы с границей x=x₁. Это позволяет для расчета вероятности попадания в заштрихованный прямоугольник предложить соотношение

.

(6.0)

Рис. 33. Расчет вероятности принадлежности результатов прямоугольной области

Итак, с использованием ФРВ системы СВ можно легко определять вероятность принадлежности результатов измерений бесконечным и конечным областям с прямоугольными границами, однако аналогичная задача для области с криволинейными границами оказывается гораздо проблематичнее и для её решения выгоднее использовать другую форму представления закона распределения системы СВ.