А.Б. Токарев
Теория вероятностей и случайные процессы В РАДИОТЕХНИКЕ
Часть 1
Учебное пособие
Воронеж 2010
ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»
А.Б. Токарев
Теория ВЕроятносей и случайные процессы В РАДИОТЕХНИКЕ
Часть 1
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2010
УДК 621.391
Токарев А.Б. Теория вероятностей и случайные процессы в радиотехнике: учеб. пособие. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010. Ч.1. 197 с.
Учебное пособие предназначено для освоения студентами радиотехнических специальностей курса “Теория вероятностей и случайные процессы в радиотехнике”. Оно определяет математический аппарат, применяемый при описании случайныхсобытий и случайных величин, свойств систем случайных величин, а также основы математической статистики.
Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 210300 “Радиотехника” специальности 210302 “Радиотехника”. Пособие предназначено для студентов 2 курса очной и 4 курса очно-заочной форм обучения.
Табл. 7. Ил. 53. Библиогр.: 9 назв.
Рецензенты: кафедра телекоммуникационных систем Воронежского института МВД России (зав. кафедрой д.т.н., проф. Н.С. Хохлов)
канд. физ.-мат. наук А. А. Жуков
© Токарев А. Б., 2010
© Оформление. ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010
Оглавление
1. ВВЕДЕНИЕ 9
2. Вероятностные методы исследования случайных событий 12
2.1. Основные характеристики случайных событий 12
2.2. Алгебраический метод расчета вероятности событий 14
2.3. Основы комбинаторики 18
2.4. Геометрический метод расчета вероятности событий 27
2.5. Классификация событий 32
3. Расчет вероятности сложных событий 36
3.1. Понятие сложного события 36
3.2. Расчет вероятности пересечения (логического произведения) событий 36
3.3. Расчет вероятности объединения (логической суммы) событий 39
3.4. Примеры расчетов вероятностей сложных событий 41
3.5. Расчет вероятностей для последовательности независимых испытаний 48
3.6. Независимые испытания с несколькими исходами 50
3.7. Расчеты для продолжительных серий испытаний 51
3.8. Потоки событий и закон распределения Пуассона 56
3.9. Формула полной вероятности. Теорема о гипотезах 58
4. Вероятностное описание случайных величин 66
4.1. Случайные величины и их классификация 66
4.2. Понятие закона распределения случайной величины 70
4.3. Ряд распределения дискретной случайной величины 70
4.4. Типовые законы распределения дискретных случайных величин 72
4.4.1.Равномерное распределение ДСВ 72
4.4.2.Геометрическое распределение ДСВ 73
4.4.3.Биномиальное, пуассоновское и гипергеометрическое распределения 75
4.5. Функция распределения вероятностей СВ 76
4.6. Плотность вероятности случайной величины 82
4.7. Типовые законы распределения непрерывных случайных величин 85
4.7.1.Равномерное распределение НСВ 85
4.7.2.Нормальное (гауссовское) распределение 87
4.7.3.Распределение Релея 89
4.7.4.Распределение Коши 90
4.7.5.Показательное распределение 91
4.7.6.Распределение арксинуса 93
4.7.7.Распределение константы 93
4.8. Пример и особенности распределения смешанных случайных величин 94
4.9. Примеры исследования вероятностных характеристик случайных величин 96
4.10. Интегральная формула полной вероятности 103
5. Числовые характеристики случайных величин 105
5.1. Начальные моменты распределения и математическое ожидание случайной величины 106
5.2. Центральные моменты распределения и дисперсия СВ 108
5.3. Прочие числовые характеристики СВ 110
5.4. Расчет числовых моментов нормального распределения 113
5.5. Примеры расчета числовых характеристик типовых распределений непрерывных случайных величин 116
5.5.1.Свойства равномерного распределения 116
5.5.2.Числовые характеристики распределения Релея 117
5.5.3.Числовые характеристики распределения Коши 119
5.5.4.Характеристики показательного распределения 120
5.5.5.Гамма распределение 121
5.6. Производящие функции и их применение для расчета числовых характеристик дискретных случайных величин 123
5.6.1.Понятие и свойства производящих функций 123
5.6.2.Характеристики биномиального распределения 125
5.6.3.Характеристики геометрического распределения 128
5.6.4.Свойства распределения Пуассона 129
5.7. Примеры исследования числовых характеристик случайных величин 130
6. Функциональное преобразование случайных величин 134
6.1. Преобразование дискретных случайных величин 135
6.2. Преобразование непрерывных случайных величин 136
6.2.1.Базовый случай 136
6.2.2.Анализ функционального преобразования при бесконечнозначной обратной функции 139
6.3. Расчет числовых характеристик случайных величин на выходе нелинейного преобразователя 141
6.4. Примеры анализа функциональных преобразований случайных величин 143
6.5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения 153
7. Системы случайных величин 156
7.1. Понятие системы случайных величин (многомерной случайной величины) 156
7.2. Вероятностное описание систем дискретных СВ 156
7.3. Функция распределения системы случайных величин 158
7.4. Плотность распределения вероятностей системы СВ 161
7.5. Зависимость случайных величин и условные законы распределения составляющих системы СВ 164
7.6. Числовые характеристики системы двух СВ 166
7.6.1.Определения и общие свойства моментов распределения системы СВ 167
7.6.2.Корреляционные характеристики случайных величин 168
7.6.1.Условные числовые характеристики случайных величин 172
7.7. Двумерный нормальный закон распределения 172
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Дельта-функция Дирака 177
8. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 182
9. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 182
10. ПРИЛОЖЕНИЕ 3 183
11. Библиографический СПИСОК 184