2. Числовые характеристики распределения Релея

При расчете математического ожидания распределения Релея следует иметь в виду, что релеевская СВ принимает лишь неотрицательные значения и при подстановке плотности вероятности ( 3 .0) в определение ( 4 .0) получаем

Здесь правая часть получена интегрированием по частям, где из ,следует, . Оставшийся интеграл в элементарных функциях не выражается и его следует преобразовать к какому-либо известному результату. Так как подынтегральное выражение является четным, то расширение области интегрирования на отрицательные значения приведет к удвоению значения интеграла, поэтому

Для получения дисперсии вместо определения ( 4 .0) вновь воспользуемся ( 4 .0). При расчете начального момента используем подстановку,. Тогда

откуда интегрированием по частям с ,и, соответственно,,получаем

В итоге, числовые характеристики распределения Релеяравны

, .

(4.0)

Обратите внимание, что для релеевского распределения эффективное значение не совпадает с параметром распределения σ и составляет. Напротив, расчет, произведенный ранее на с. 90, показал, чтозначение этого параметра служитмодойраспределения Релея.

Для определения медианы распределения необходимо решить уравнение. Используя ( 3 .0), получим. Отсюда,медианараспределения Релея

.

(4.0)

3. Числовые характеристики распределения Коши

Отметим, что числовые характеристики случайных величин существуют не всегда. Попробуем определить математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Коши ( 3 .0).

Вариант рассуждений 1: Плотность вероятности ( 3 .0) симметрична относительно точки x₀ , поэтому точка x₀ и должна служить математическим ожиданием распределения.

Вариант рассуждений 2: Формально, математическое ожидание распределения Коши определяется значением интеграла. Записав числитель подынтегрального выражения в виде «», получим

.

Подстановка пределов интегрирования приводит в первом слагаемом к неопределенности «∞ – ∞», что не позволяет поставить в соответствие распределению Коши конкретное значение математического ожидания.

Замечание: Глубинный смысл обнаруженной неопределенности состоит в том, что попытка экспериментального определения математического ожидания СВ ξ по статистической выборке её значений x₁ , x₂ ,…x_n не приводят к положительному результату. Даже при бесконечном увеличении числа измерений вероятность наблюдения заметных отличий x₀ от среднего арифметического значений xi будет оставаться существенно отличной от нуля.

Итог:распределение Коши является примером распределения, не имеющего ни математического ожидания, ни дисперсии.

4. Характеристики показательного распределения

Плотность вероятности показательно­го распределения определяется соотношением ( 3 .0). Опираясь на определение ( 4 .0) для математического ожидания получим

.

Приведенная в правой части сумма получена путем интегрирования по частям, где u = x, dv =. Учтем далее, что при функцияпри любом положительном λ стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x, поэтому первое слагаемое суммы стремится к нулю.

В результате, математическое ожидание показательного распределенияоказывается равным

.

(4.0)

Для расчета дисперсии разумно использовать ( 4 .0). Дважды применив интегрирование по частям, получаем

.

(4.0)

Как следствие, среднеквадратическое отклонение( 4 .0) величи­ны, имеющей показательное распределение, составляет

.

(4.0)

Расчет третьего центрального момента путем непосредственного интегрирования оказывается весьма громоздким, но в конечном счете приводит к

Таким образом, коэффициент асимметрии ( 4 .0) показательного распределения оказывается равным

,

что вполне согласуется с физическим смыслом данного параметра, обсуждавшимся на с. 111.