4. Расчет числовых моментов нормального распределения

Получим расчетные выражения для числовых характеристик нормального распределения, занимающего в теории вероятностей особое место.

Согласно ( 4 .0) для определения математического ожидания необходимо рассчитать интеграл

.

Громоздкий показатель экспоненты в подынтегральном выражении можно несколько упростить использованием подстановки . При такой замене пределы интегрирования корректировать не потребуется, поскольку при любыхконкретных значениях параметров a и σ бесконечным значениям x будут соответствовать бесконечные значенияz, однако следует принять во внимание, что . Заменяя первый сомножитель под интегралом как , получим

,

так как первый интеграл берется в симметричных пределах от нечетной подынтегральной функции, а во втором интеграле в бесконечных пределах интегрируется плотность вероятности нормальной СВ ( 3 .0) с параметрами a=0, σ=1.

Проанализируем теперь особенности центральных моментов нормальных СВ. Используя стандартную подстановку , запишем выражение для расчета центрального моментаk-го порядка нормальной случайной величины в виде

Применительно к моментам нечетного порядка k функция оказывается нечетной, а функция– четной, поэтому подынтегральное выражение в целом представляет собой нечетную функцию аргумента z, что однозначнообеспечивает нулевое значение интеграла и, соответственно, ра­венство нулю всех моментов нечетного порядка.

Для расчета центральных моментов четного порядка воспользуемся интегрированием по частям. Выбираяи, имееми. Таким образом,

В этой сумме первое слагаемое всегда принимает нулевое значение, а второе – соответствует по структуре исходному интегралу, но с уменьшенной на “2”: степенью z. Повторяя аналогично операции по понижению степени, получим

Учитывая, что начальные моменты распределения любой случайной величины можно представить в виде

,

(4.0)

а центральные моменты нормального распределения имеют вид

.

(4.0)

для нормального распределенияполучаем

, ,, , ,, , , .

(4.0)

Обратите внимание, что оба параметра нормального распределения имеют чёткий физический смысл: aопределяетматематическое ожиданиеСВ,σ– совпадает сосреднеквадратическим отклонением(эффективным значением) СВ.

Колоколообразный вид кривой плотности вероятности нормального распределения (см. выше Рис. 13), симметричный относительно центральной точкиx = a, указывает на то, что единственной модой и, одновременно, медианой этого распределения служит именно точкаx_мод = x_0,5 = a. При этом икоэффициент асимметрии , и коэффициент эксцесса имеют нулевые значения.

5. Примеры расчета числовых характеристик типовых распределений непрерывных случайных величин

   1. Свойства равномерного распределения

В пределах всего разрешенного диапазона значений [a,b] плотность вероятности равномерного распределения принимает одно и то же значение

,

(4.0)

поэтому моды равномерное распределение не имеет. Симметрия же плотности относительно середины диапазона наблюда­емых значений позволяет без вычислений утверждать, чтомедиана и математическое ожидание совпадают междусобой

,

(4.0)

а центральный момент третьего порядка равен нулю .

Таким образом, рассчитать необходимо лишь дисперсию и коэффициент эксцесса распределения. Вычислим сначала второй начальный момент

.

откуда, согласно ( 4 .0), для дисперсииполучаем

.

(4.0)

Для получения коэффициента эксцесса сначала рассчитаем четвертый центральный момент распределения

;

здесь использована замена y = x – (b + a) / 2, а затем учтено, что при интегрировании по y подынтегральное выражение четное. В итоге, получаем отрицательный коэффициент эксцесса ( 4 .0)

(4.0)

что вполне согласуется с физическим смыслом данного пока­зателя, обсуждавшимся на с. 111.