5. Классификация событий

Если проводимый эксперимент предполагает возможность реализации нескольких случайных событий, то наступление одного из таких событий может увеличивать или уменьшать возможность реализации других событий. Например, при изготовлении радиоаппаратуры использование комплектующих низкого качества, а также выбор близких к критическим режимов работы электронных приборов повышают риск выхода этой аппаратуры из строя. Напротив, при использовании компонентов схемы в режимах, облегченных по сравнению с предельно допустимыми, риск отказа аппаратуры снижается (хотя и не устраняется полностью).

Если наступление события A влечет изменение вероятности реализации события B, то такие события называют зависимыми. Вероятность совершения события B при условии, что в проводимом опыте событие A уже произошло, называют условной вероятностью события B и обозначают .

Если же условная вероятность наступления событияBсовпадает с его безусловной вероятностью , то событияAиBсчитаютсянезависимыми.

Пример 10: Из набора костяшек для домино наугад выбираются одна кость. Рассмотрим возможные события

A = “значения на половинках кости совпадают”;

B = “сумма цифр на половинках костяшки равна 8”.

Из m = 28 костей = 7 имеют совпадающие значения половинок, поэтому. СобытиеB наступает при выборе костяшек “2-6”, “3-5”, “4-4” (= 3) и безусловная вероятность события B равна . Если же оценивать вероятность реализации событияB при условии совпадения значений на разных половинках вынутой костяшки, то из 7 подобных костей лишь выбор “4-4” влечет наступление события B, поэтому . Наконец, если известно, что сумма цифр на половинках кости равна 8, то из 3 подобных костяшек (соответствующих событиюB), лишь “4-4” имеет совпадающие половинки. Таким образом, .

Итак, условные вероятности событий A и B отличаются от безусловных, т.е. наступление одного из этих событий влияет на возможность реализации другого. Таким образом, события A и B – зависимые.

Рассмотрим теперь событие C = “сумма цифр на половинках костяшки домино равна 6”. Оно наступает при выборе костяшек “0-6”, “1-5”, “2-4” и “3-3”. Безусловная вероятность события C равна . Изm = 7 костей с совпадающими половинками ровно одна (“3-3”) влечет наступление события C, поэтому . Наконец, среди четырех костей, обладающих суммой цифр, равной 6, лишь одна имеет совпадающие половинки, поэтому .

Итак, при наступлении любого из событий A и C шансы совершения другого события не увеличиваются и не уменьшаются, а значит эти события – независимые.

Примечание: Текстовым признаком того, что рассматриваемая в задаче вероятность – условная, является возможность представить формулировку этой задачи в виде: “Найти вероятность B при условии A”. В математической записи сочетание слов «при условии» заменяется вертикальной чертой «|».

Если при проведении опыта могут совершаться сразу несколько событий, то подобные события считаются совместными. Если же наступление одного из событий исключает возможность реализации другого (других), то такие события называютсянесовместными. Для несовместных событий A и B справедливо и.

Частным случаем несовместных событий являются два противоположных события. Событие (читается «неA») называютпротивоположнымсобытиюA, если оно наступаетв каждом опыте, где не совершаетсяA.

Продолжение примера 10: К числу событий, рассмотренных выше, добавим событие D = “половинки костяшки домино отличаются друг от друга”. Тогда пары событий A и B, A и C, D и B, D и C являются совместными, события B и C – несовместными, а события A и D – противоположными друг другу .

Группа несовместных событийназываетсяполной, если при проведении опыта одно (и только одно) из этих событий обязательно происходит. Минимальную по объему полную группу образуют два противоположных событияAи.

Продолжение примера 10: Во многих ситуациях существует не единственная, но многие полные группы событий. Так, для набора костей домино можно сформировать полную группу событий, дополняя события B и C аналогичными, определяющими другие возможные суммы очков на половинках косточек. Если же вместо суммы очков контролировать отличия между ними, то у выбранной наугад костяшки домино значения могут сов­па­дать (событие ) а могут отличаться на 1, 2…6 (события , , …). Набор событий … также образует полную группу. Определим их вероятности:

= P{“0-0”,“1-1”,”2-2”,”3-3”,”4-4”,”5-5”,”6-6”} = 7 / 28.

= P{“0-1”,“1-2”,”2-3”,”3-4”,”4-5”,”5-6”} = 6 / 28.

= P{“0-2”,“1-3”,”2-4”,”3-5”,”4-6”} = 5 / 28.

= P{“0-3”,“1-4”,”2-5”,”3-6”} = 4 / 28.

= P{“0-4”,”1-5”,”2-6”} = 3 / 28.

= P{“0-5”,”1-6”} = 2 / 28.

= P{“0-6”} = 1 / 28.

Обратите внимание, что сумма вероятностей событий … составляет строго 1,0.