1. Начальные моменты распределения и математическое ожидание случайной величины

Как будет показано ниже, константа, стоящая в правой части ( 4 .0), является частным случаем группы числовых характеристик, называемых начальными моментами распределения случайной величины.

Начальным моментом распределения СВ k-го порядканазывают константу, определяемую правилом

.

(4.0)

Моменты четных порядков всегда неотрицательны, а нечетные начальные моменты могут принимать произвольные значения. Размерность начального моментаk-го порядка совпадает сk-ой степенью размерности СВ ξ.

Примечание: Для существования начальных моментов требуется абсолютная сходимость соответствующих интегралов и рядов, в частности, конечное значение интеграла .Если существует момент п-го порядка, то, конечно, существуют все моменты порядка k<n. Если же момент n-го порядка неограничен, то и любые моменты порядка k>n неограниченны.

Математическим ожиданиемслучайной величины называют её начальный момент распределения первого порядка, т.е. константу

.

(4.0)

Из сопоставления верхней строки определения ( 4 .0) с правой частью ( 4 .0) следует, что математическое ожидание – это и есть та константа, к которой стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ. С геометрических позиций математическое ожидание совпадает с абсциссой центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс. Т.е. если изготовить из однородного по плотности материала плоскую фигуру, совпадающую по форме с плотностью вероятности, и поместить её на опору, размещенную в точке, определяемой математическим ожиданиемM_ξ, то на такой опоре эта фигура будет находиться в равновесии (Рис. 22)

Рис. 22. Расположение математического ожидания показательного распределения (см. п. 5.5.4)

Аналогично начальные моменты более высоких порядков характеризуют среднее арифметическое k-x степеней значений случайной величины. В частности, начальный момент 2-го порядка характеризует среднее значение квадратов значений СВ, и если величина ξ характеризует некоторое случайное напряжение, тоопределяет среднее значение мощности этого сигнала.

2. Центральные моменты распределения и дисперсия св

Условимся называть центрированной случайной величинойотклонение СВот её математического ожидания

.

(4.0)

Центральным моментом распределения k-го порядка СВназывается начальный момент того же порядка центрированной величины, т.е. константа

.

(4.0)

Наиболее важным из центральных моментов является момент второго порядка, называемыйдисперсией

.

(4.0)

Дисперсия, очевидно, не может принимать отрицательных значений, равна нулю для детерминированных величин ξ = с = const и положительна для величин случайных, принимая тем большее значение, чем больше разброс значений СВ относительно её математического ожидания. Т.е. дисперсия служит характеристикой разброса («рассеяния») значений СВ.

Раскрыв скобки в подынтегральном выражении для вычисления дисперсии, можно получить весьма полезное на практике соотношение

.

Итак, дисперсия любой случайной величины может быть получена как разность математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания этой СВ

.

(4.0)

Размерностью дисперсии служит квадрат размерности случайной величины. Это не всегда удобно, поэтому наряду с дисперсией для отражения степени разброса значений СВ по отношению к её математическому ожиданию используют такжесреднеквадратическое отклонение(с.к.о.) или, иначе,эффективное значениеСВ, определяемое выражением

.

(4.0)

Среднеквадратическое отклонение совпадает по размерности с самой случайной величиной и позволяет предсказывать ориентировочный диапазон, в котором лежат значения СВ. Можно доказать, что для почти всех случайных величин подавляющее большинство значений умещаются в диапазоне.

Центральные моменты порядков k>2 могут, в принципе, принимать произвольные значения (чётные моменты всегда неотрицательны), а центральный момент 1-го порядка, очевидно, всегда равен нулю

.