4. Свойства распределения Пуассона

Говорят, что ДСВ имеет распределение Пуассона, если вероятность принятия ею целочисленных значений выражается формулой

, ,

(4.0)

где параметр распределения a= const > 0.

Для получения производящей функции распределения полезно вспомнить, что известное разложение функциив ряд Маклорена имеет вид

.

С учетом этого, расчетное выражение, записанное на основе определения ( 4 .0), можно преобразовать к виду

.

В результате, для производящей функции пуассоновского распределенияполучаем выражение

.

(4.0)

Вновь запишем первые две производные функции :

, .

Подставляя z = 1, видим, что математическое ожидание пуассоновского распределенияравно

.

(4.0)

Для дисперсии, согласно ( 4 .0), получаем

.

(4.0)

Итак, параметр aпуассоновского распределения может определяться как a = n·p, если это распределение возникает как предельный случай биномиального (см. с. 55), или какa=λ·τ, если оно характеризует простейший поток событий (см. с. 57). Однако в любом случае, параметрaхарактеризует среднее число ожидаемых событий, а потому совпадает с математическим ожиданием СВ. Любопытно, что и дисперсия распределения Пуассона также оказывается равнойa.

7. Примеры исследования числовых характеристик случайных величин

Пример 1 (продолжение примера, приведенного на с. 96): Определить числовые характеристики непрерывной случайной величины с плотностью вероятности (см. Рис. 20)

, λ>0.

(4.0)

Решение: При расчете математического ожидания под ин­тегралом оказывается нечетная функция ,что (без дальнейших расчетов) означает

.

Аналогичный вывод следует из симметрии относительно точки x=0, что однозначно определяет расположение «центра масс» плотности вероятности и, соответственно, математического ожидания ξ (см. рассуждения на с. 108).

Для расчета дисперсии сначала избавимся от «модуля» в подынтегральном выражении на основе четности функции, затем дважды воспользуемся интегрированием по частям и, наконец, воспользуемся тем фактом, что функция пристремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x. В результате, имеем

.

Эффективное значение (с.к.о.) распределения ( 4 .0) составит

.

Расчет коэффициента асимметрии производить в реальности не требуется, так как из четности плотности вероятности однозначно следует γ = 0.

Попробуйте самостоятельно (по аналогии с расчетом дисперсии) выполнить расчет . После 4-кратного интегрирования по частям должно получиться

,

тогда коэффициент эксцесса ( 4 .0) распределения составит

.

Подобный результат вполне соответствует островершинному характеру плотности вероятности ( 4 .0).

Кстати, тот факт, что функция имеет единственную вершину в точке x = 0, указывает, что именно эта точка и служит модой ( 4 .0) анализируемого распределения

.

Пример 2: При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо от результатов других циклов) обнаруживается с вероятностью p = 0,2. Обозначим через ξ число циклов обзора, которое придется произвести до обнаружения объекта, а через η – число циклов вплоть до момента обнаружения (т.е. включая и тот, последний, при котором объект был обнаружен). Найти математическое ожидание, дисперсию и эффективное значение обеих случайных величин. Оценить вероятность того, что η окажется в опыте больше своего математического ожидания более чем на 3·σ_η.

Решение: Поиск радиолокатором объекта представляет собой последовательность независимых испытаний, уже ранее рассматривавшуюся, например, на с. 73. Это позволяет однозначно утверждать, что СВ ξ подчиняется геометрическому распределению с параметрами p₁=0,2 и q₁=1–p₁=0,8 и для рас­чета её характеристик применимы соотношения ( 4 .0) и ( 4 .0). В результате, математическое ожидание СВ ξ составляет

.

(4.0)

а дисперсия и эффективное значение (с.к.о.) равны

; .

(4.0)

Найдем вероятность того, что до обнаружения объекта потребуется произвести более чем безрезультатных циклов обзора

.

Как видно, эта вероятность весьма мала.

При обнаружении каждого из объектов значение СВ η ровно на 1 отличается от соответствующего значения СВ ξ, т.к. учитывает последний цикл, завершающий процедуру обнаружения. Таким образом, характеристики разброса для η будут такими же, как у СВ ξ: ,,а математическое ожидание составит

.

(4.0)