6. Плотность вероятности случайной величины

Непрерывность функции распределения любой НСВ в соответствии с соотношением ( 3 .0) означает, что вероятность наблюдения любого конкретного значения случайной величиныP{  = c } = 0. Этот результат не следует рассматривать как признак физической невозможности наступления события “ = c”; более корректно говорить о бесконечно малой вероятности данного события. И действительно, рассмотрим произвольный интервал (a,b), содержащий допустимые значения СВ. Не зависимо от того, сколь малым по протяженности является этот интервал, число заключенных на нём возможных значений СВ бесконечно велико, а значит на долю каждого значения приходится бесконечно малая вероятность его получения в опыте. По указанной причине, сопоставлять с использованием ФРВ вероятности наблюдения разных значений случайной величины не слишком удобно.

Отметим, что пока интервал (a,b) допустимых значений СВ сохраняет ненулевую протяженность (b>a), вероятность наблюдения значений из этого интервала также остается положительнойP{ a ≤  < b } > 0, а для малых интервалов стремлениеb →aвызывает пропорциональное снижение вероятности. Если применительно кбесконечно малойокрестности точки  = x определить коэффициент пропорциональности между шириной интервала Δx и вероятностью наблюдения значенийx ≤  < (x+ Δx), то такой коэффициент, очевидно, будет служить объективным показателем возможности наступления события “ = x”. С другой стороны, в соответствии с ( 3 .0)

,

что объясняет появление следующего определения…

Плотность вероятности случайной величины характеризует возможность наблюдения значений СВ из бесконечно малой окрестности аргументаxиравна

.

(3.0)

Рассмотрим наиболее важные свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности имеет размерность обратную к размерности самой случайной величины (для напряжений измеряется в “1/В”, для временных интервалов – в “1/с”, а для расстояний (декартовых координат) – в “1/м”) и принимает лишь неотрицательные значения

.

(3.0)

Действительно, в числителе ( 3 .0) стоит безразмерная вероятность, а аргумент x, как и его приращение Δx, совпадают по размерности с самой случайной величиной.

2. Вероятность попадания значений СВ  в интервал от a до b может быть рассчитана при помощи интеграла

.

(3.0)

Для расчета вероятности разделим интервал от a до b на ряд примыкающих друг к другу малых интервалов шириной Δx.

Рис. 11. К пояснению свойства 2

Вероятность попадания значения СВ ξ на конкретный участок с центром x_i в соответствии с ( 3 .0) приближенно равна . События, соответствующие попаданию ξ на различные участки, являются несовместными. Как следствие,

.

3. По известной плотности вероятности функция распределения вероятностей СВ может быть рассчитана из соотношения

.

(3.0)

Примечание: Обратите внимание, что целью соотношения ( 3 .0) является получение именно функции, т.е. некоторого выражения, содержащего символьный аргумент x₀, на место которого при последующих расчетах будет подставляться реальное значение аргумента функции распределения.

4. Если границы a…b из свойства 2 расширить до “–∞” и “+∞”, то выражение ( 3 .0) будет характеризовать вероятность выполнения неравенства«–∞ ≤  < +∞». Но указанное событие гарантированно выполняется для любой случайной величины: . Как следствие,для любой СВ справедливо

.

(3.0)

Соотношение ( 3 .0) называют свойством нормировкиНСВ. С геометрических позиций интегралопределяет площадь фигуры, заключенной между графиком плотностью вероятности и осью абсцисс, поэтому ( 3 .0) означает, что для всех СВ фигуры, заключенные под кривой , имеют одинаковую площадь строго равную единице.