7. Расчеты для продолжительных серий испытаний

Асимптотика Муавра—Лапласа.В тех случаях, когда число независимых испытаний велико, непосредственное вычисление вероятностей по формуле ( 2 .0) и, особенно, ( 2 .0) представляет большие трудности, так как при этом определение биномиальных коэффициентов связано с вычислением факториалов при больших аргументах. Факториал можно с достаточной точностью получить, применив так называемуюасимпто­тическую формулу Стирлинга.

.

(2.0)

Символ ~ (асимптотическое равенство) означает, что отношение двух выражений, соединенных этим символом, стремится к единице при неограниченном возрастании m.

Используя формулу Стирлинга, из ( 2 .0) с точностью до малых порядкаможно получить следующее асимптотическое равенство, иногда называемоелокальной формулой Муавра—Лапласа

,	(2.0)
где .	(2.0)

Вероятность того, что число появлений события Aприпнезависимых испытаниях находится в пределах от до ,определяется так называемой интегральной теоремой Лапласа

,

(2.0)

где , , – определяется соотношением ( 2 .0), а таблица значений функцииприведена в прил.???.

Погрешность, сопровождающую использование в расчетах вместо ( 2 .0) асимптотики Муавра-Лапласа, можно охарактеризовать соотношением [111]

,

(2.0)

т.е. погрешность расчетов не превышает величины .

Пример 6: Определить вероятность того, что при подбрасывании монеты n = 10⁴ раз частота наблюдения герба будет отличаться от 1/2 более чем на 0,5%.

Решение. При  n = 10000 «идеальным» результатом, соответствующим вероятности события p = 1/2, являлось бы наблюдение ровно 5000 решек и 5000 гербов. Отклонение частоты более чем на 0,5% означает, что число зафиксированных гербов либо меньше 4950, либо больше 5050.

С использованием асимптотики Муавра-Лапласа подсчитаем вероятность наблюдения в исследуемой последовательности независимых испытаний от 4950 до 5050 гербов. При n=10000, p = 1/2 параметрами соотношения ( 2 .0) служат , , , откуда

= 0,7228.

Таким образом, вероятность значительного отклонения частоты наблюдения гербов от 1/2 составит

.

Полученное значение P ≈ 27,7% не является точным, но согласно ( 2 .0) его погрешность не превышает = =, т.е. истинная вероятность наблюдения заметного отклонения частоты от значения 1/2 лежит в диапазоне от 0,2732 до 0,2812. Подобная погрешность результата по смыслу задачи является вполне допустимой, и потому нет никакой необходимости осуществлять точный расчет на основе ( 2 .0), трудоемкость которого несоизмеримо выше проделанных вычислений.

Примечание. Отметим, что если бы вероятность контролируемого события вместо 1/2 составляла, скажем, p = 0,042, то параметры ( 2 .0) оказались бы равными , , , откуда

а контроль погрешности с помощью ( 2 .0) дает в этих условиях значение . Значение 0,0183 не является истинной погрешностью (для её определения нужно было бы произвести строгий расчет искомой вероятности на основе ( 2 .0)), а лишь её оценкой сверху, но то, что возможная погрешность может быть соизмерима с самим результатом, вряд ли радует.

Итак, согласно ( 2 .0) асимптотика Муавра-Лапласа гарантирует высокую точность расчетов приn>>1 и вероятностях контролируемого события из диапазона 0,1 ≤p≤ 0,9. Если же вероятность p происходящего в серии испытаний события близка к нулю или к единице, то погрешность, сопровождающая применение ( 2 .0) вместо ( 2 .0), может оказаться излишне высокой. В таких ситуациях полезно оценить применимость описанной ниже асимптотики Пуассона.

Асимптотика Пуассона. Применяется, если число производимых независимых испытаний велико (n>>1), а вероятность появления события при одиночном испытании относительно мала, так что, скажем,n∙p≤ 10. Согласно этой асимптотике вероятность того, что в серии опытов событиеAпроизойдетровно k раз, можно оценить по формуле

,

(2.0)

где p– вероятность наступления событияAв одиночном испытании.

Погрешность применения асимптотики Пуассона для расчета вероятностей событий в последовательности независимых испытаний можно охарактеризоватьсоотношением [111]

.

(2.0)

Примечание: Более громоздкие альтернативные правила оценивания погрешностей приближения можно найти в [110, с. 8].

Пример 7: Пусть в каждом из n = 1000 испытаний событие А может наблюдаться с вероятностью p = 0,003. Определить вероятность того, что в серии испытаний событие A появится не менее 7 раз.

Решение. На основе асимптотики Пуассона, где , требуемую вероятность можно получить из соотношения

Определяемая согласно ( 2 .0) погрешность не должна превысить . Следовательно, истинная вероятность должна лежать в пределах от 0,0305 до 0,0365.

Проверим полученный результат строгим расчетом:

Итак, точное значение , т.е. относительная погрешность результата, полученного с использованием асимптотики Пуассона, составила примерно 0,66% (явно меньше предельной погрешности, определяемой ( 2 .0)).