3. Расчет вероятности сложных событий

   1. Понятие сложного события

Если анализируемой задаче (ситуации) нельзя поставить в соответствие набор равновозможных исходов, то ни алгебраический, ни геометрический методы использовать для расчета вероятностей оказывается невозможно. В подобной ситуации имеет смысл попытаться представить анализируемые (сложные) события как логическую комбинацию каких-то более простых утверждений, для каждого из которых вероятность реализации известна или может быть рассчитана. Правила расчета вероятности итогового сложного события по вероятностям событий, его образующих, устанавливаются ниже.

2. Расчет вероятности пересечения (логического произведения) событий

Пересечением (логическим произведением) N событийназывают событие , заключа­ющееся в наступлениивсех событийв одном опыте. В частности, пересечением двух

событий AиBназывают событиеA∙B, наблюдаемое, когда и A, и B наступают в одном и том же опыте. Признаком пересечения в текстовых формулировках событий служит союз“и”.

Примечание: Некоторые авторы для обозначения пересечения и объединения событий применяют символы исоответственно, но в настоящем пособии эти символы не используются. Как правило, явной потребности в подобных специфичных символах не возникает, а использование вместо символа значка произведения и вместо– знака суммы к неясностям, как правило, не приводит, но позволяет достичь большей компактности записи.

Для упрощения рассуждений, определяющих правило расчета вероятности пересечения событий, будем полагать, что возможным исходам анализируемого опыта можно поставить в соответствие какое-то геометрическое место точек на плоскости. Вероятность пересечения событийAиBбудет отличной от нуля только если существует некая общая для этих событий совокупность исходов. Подобная ситуация представлена на Рис. 6, гдесобытию A соответствует группа точек, помеченная , событиюB – группа точек с пометкой , а исходам общим для этих событий – центральная область с площадью .

Рис. 6. Пересечение событий A∙B

Представим временно, что вместо исходного эксперимента мы проводим опыты, в которых событиеAгарантированно происходит. При подобном изменении ситуации в качестве геометрического места точек, соответствующего всем исходам опыта, выступала бы лишь площадка , выделенная на Рис. 6жирной линией. Соответственно, вероятность наблюдения в этих условиях событияB(помимо обязательного событияA) определялась бы соотношением площадей и. Применительно же к условиям исходного эксперимента указанное отношение есть ни что иное, как условная вероятность событияB

.

Возвращаясь к расчету вероятности пересечения событийAиB, в соответствии с геометрическим подходом получаем

.

Итак, вероятность пересечения двух событий A и B равна

,

(2.0)

где P{B|A} – условная вероятность события B, т.е. вероятность, вычисленная при условии, что событие A уже произошло; P{A|B} – условная вероятность события А, определяющая возможность наступления этого события при уже свершившемся событии B.

Вероятность пересечения произвольного числа N событийопределяется выражением

,

(2.0)

где, в частности, – это вероятность наступления события, вычисленная при условии, что все события начиная с и досовершились.