4. Геометрический метод расчета вероятности событий

Если число исходов проводимого опыта бесконечно велико, то использовать для расчета вероятностей алгебраический метод расчета невозможно, так как правило ( 1 .0) приводит к неопределенности . Однако, если исходы опыта по отношению друг к другу равновероятны, то расчет вероятностей можно осуществить, используя геометрический метод расчета. Согласно этому методу, каждому из равновозможных исходов опыта ставится в соответствие некоторая точка геометрического пространства, так что все возможные исходы занимают некоторую область этого пространства, а благоприятствующие событию A варианты – какую-то часть этой области (см. примеры ниже). Вероятность случайного события A определяется при этом как соотношение геометрических размеров указанных областей. Например, при использовании двумерного пространства для представления точек – исходов опыта, вероятность будет определяться соотношением площадей соответствующих фигур

,

(1.0)

а при работе в трехмерном пространстве придется оценивать соот­ношение объемов и т.д.

Пример 8: Стержень длиной L разломали наугад на две части. Какова вероятность того, что длина меньшей части не превосходит L / 3 ?

Решение:Исходы анализируемой задачи, отличающиеся друг от друга координатой точки разлома равновероятны, а их число бесконечно велико, что доказывает возможность и целесообразность использования геометрического метода расчета вероятностей.

Из текста задачи очевидно, что всем возможным исходам опыта соответствует совокупность точек, заполняющих отре­зок длиной L. Для возникновения же при разломе стержня одного маленького и одного большого кусков точка разлома должна располагаться либо в начале этого стержня, либо в его конце. Координата x точки разлома, должна удовлетворять одному из неравенств x < L/3 или x > 2L/3 (содержащие подобные точки участки отрезка L показаны на Рис. 3 заштрихованными).

Рис. 3. При попадании точки разлома стержня из примера 8 на заштрихованные участки требования задачи выполняются

Итак, геометрическим местом размещения всех исходов опыта в данной задаче служит отрезок прямой. Сопоставляя его длину L с суммарной длиной двух участков, содержащих точки, благоприятствующие наступлению нужного события, для вероятности получения меньшего куска стержня, не превосходящего L/3, получаем

.

Пример 9: По радиоканалу в течение промежутка времени (0,1) передаются два сигнала длительностью . Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент времени из интервала (0,). Если сигналы перекроют другдруга хотя бы частично, оба они искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что сигналы будут приняты без искажений.

Решение:Анализируемая задача характеризуется, как непосредственно следует из условия, бесконечным количеством равновозможных исходов и, следовательно, её разумно решать с использованием геометрического метода расчета. Так как в задаче фигурируют два сигнала с независимо изменяющимися параметрами, то геометрическое пространство, на которое будут отображаться исходы опытов, должно иметь два измерения, т.е. точки, соответствующие исходам задачи, следует размещать на плоскости.

Обозначим момент начала первого из сигналов через , а начало второго сигнала – через. Тогда точки, с координатами (,), соответствующие по условию задачи всем возможным исходам опыта, будут размещаться в пределах прилегающего к началу координат квадрата со стороной. Для определения же геометрического места точек, соответствующих исходам, при которых сигналы будут приняты без искажений, учтем, что перекрытие сигналов невозможно, если моменты их начала отличаются более чем на. Отсюда,

..

Отобразим границы, определяемые условиями и , на той же системе координат (см. Рис. 4), тогда благоприятными для приема сигналов являются случаи, когда точки – исходы опыта попадают в верхнюю левую или нижнюю правую заштрихованные зоны.

Рис. 4. К определению вероятности передачи без искажений сигналов из примера 9

Итак, , а площадь двух треугольников, образующих благоприятную зону, составит ; таким образом, вероятность передачи сигналов без искажений определится выражением

.

График соответствующей зависимости показан на Рис. 5. Поведение вероятности P{A} на участке вполне объяснимо: при длительности сигналових перекрытие маловероятно, а вероятность успешного приема близка к единице; затем, по мере увеличения, шансы на перекрытие сигналов возрастают и . Возрастание же вероятности на показанном пунктиром участке является ложным. При подобных длительностях сигналов их перекрытие, а значит и искажение – неизбежно, т.е. на самом деле .

Рис. 5. Зависимость вероятности передачи без искажений сигналов из примера 9 от их длительности

Для выяснения причин наблюдаемого противоречия нужно вернуться к анализу ситуации на Рис. 4. Выражение для P{A}, по которому строился график Рис. 5, было получено исходя из треугольной формы благоприятных зон A1 и A2. Однако, при эти зоны сливаются воедино и далее уже не увеличиваются, но заполняют всю площадь анализируемого квадрата, т.е. . Попытка буквального использования пунктирного участка кривой с Рис. 5 приводит к ошибке, однако эта ошибка не является недостатком геометрического метода расчета вероятностей. Она порождается некорректным его применением, вызванным изменением конфигурации благоприятных областей по сравнению с представленными на Рис. 4.

Итак, используя для расчета вероятностей геометрический метод, следует иметь в виду возможные изменения конфигурации контролируемых геометрических мест точек – исходов опытов и, соответственно, уделять особое внимание оценке границ изменения параметров задачи, при которых результаты расчетов остаются справедливыми.