3. Прочие числовые характеристики св

Ряд полезных характеристик СВ можно получить за счет подходящей нормировки моментов распределения. Например, для любого симметричного относительно своего центра распределения центральные моменты всех нечетных порядков равны нулю. Как следствие, простейший из нечетных моментов – центральный момент третьего порядка – может быть задействован для отражения симметрии или асимметрии кривой плотности относительно оси, проходящей через математическое ожидание. Назовемкоэффициентом асимметрии(«скошенности») безразмерное соотношение

,

(4.0)

где - с.к.о. величины ξ.

В подынтегральное выражение для расчета центрального момента 3-го порядка плотность вероятностиW_ξ(x) входит в первой степени, а разности “(x–M_ξ)” – в третьей степени. Как следствие, хотя у плотности вероятностиW₁(x)cРис. 23 зона наиболее вероятных значений лежит левее M_ξ1, её вкладв значениеотносительно невелик, т.к. все эти часто наблюдаемые значения лежат вблизиM_ξ1. Значения, лежащие правее M_ξ1,встречаются заметно реже, однако пологий характерW₁(x) указывает, что наблюдать их всё же можно, а огромная величина “(x–M_ξ)^{3 “} приводит к заметно большему влиянию этих значений на несмотря на малость плотности вероятности.

В результате, для W₁(x) коэффициент асимметрии γ оказываетсяположительным. И напротив, показанная на Рис. 23 плотность вероятностиW₂(x) плавно понижается к области отрицательных значений и ей соответствует коэффициент асимметрии γ < 0.

Характеристикой сглаженности кривой распределения служит безразмерныйкоэффициент эксцесса(«островершинности»)

.

(4.0)

Ниже (см. ( 4 .0)) будет показано, что для нормального распределения четвертый центральный момент равен и, соответственно,коэффициент эксцесса ε = 0. Распределения с более острой вершиной обладают положительным эксцессом, а для плотностей вероятности с пологой вершиной характерны отрицательные значения коэффициента эксцесса.

а) коэффициенты ассиметрии	б) коэффициенты эксцесса

Рис. 23. Коэффициенты ассиметрии и эксцесса распределений

Начальные и центральные моменты, естественно, не отражают всех особенностей распределения случайной величины. К числу альтернативных часто используемых числовых характеристик относится, в частности,модараспределения.

Модойназывают наиболее вероятное значение этой случайной величины

,

(4.0)

т.е. такое значение аргумента плотности вероятности, при которомоказывается максимально возможной. Отметим, что кривая плотности вероятности может бытьунимодальной, т.е. иметь единственный максимум, или полимодальной,т.е. иметь несколько максимумов.

Ещё одну группу характеристик образуют квантили и процентные точки распределения. Квантилем порядкар, называют значение аргумента функции распределения , удовлетворяющее уравнению

.

(4.0)

Процентные точки x_q распределения определяются уравнением

,

(4.0)

т.е. определяют значение случайной величины, вероятность превышения которого равна q. Очевидно, чтоq-процентная точка распределения совпадает с квантилью порядка (1 –q).

Для непрерывной СВ квантиль совпадает с процентной точкой x_0,5и делит площадь под кривой плотности вероятности на две равные части. Подобное значение, по отношению к которому как меньшие, так и большие значения встречаются одинаково часто, называютмедианой распределения.