6. Числовые характеристики системы двух св

К наиболее часто используемым числовым характерис­тикам системы СВ относят смешанные начальные и центральные моменты распределения. Различающиеся порядками моменты могут иметь заметно отличающийся «физический смысл»; в связи с этим, начнем с формального определения числовых характеристик, а их свойства и практическое назначение будем исследовать для каждого конкретного случая в отдельности.

1. Определения и общие свойства моментов распределения системы св

Смешанным начальным моментом распределения порядка k, r для системы случайных величин {ξ, η} называют константу

, .

(6.0)

В этот набор констант входят как величины, характеризующие особые свойства системы, так и «классические» моменты распределений, характеризующие свойства отдельных компонент. Действительно, с учетом ( 6 .0) для произвольной системы СВ приk = 0 получим

.

(6.0)

Аналогично,

(6.0)

и, в частности,

; .

(6.0)

Если вместо значений самих СВ использовать при усреднении отклонения величин от их математических ожиданий, то получаемые числовые характеристики называют центральными моментами распределения системы СВ

.

(6.0)

Нетрудно заметить, что для независимых случайных величин, у которых плотность вероятности системы распадается на произведение законов распределения составляющих систему СВ, как начальные, так и центральные смешанные моменты представляют собой просто произведение числовых характеристик отдельных СВ

; .

(6.0)

В результате, информацию о системе(т.е. характеризующуюособенности зависимости между величинами) несут прежде всего смешанные моменты порядков.

2. Корреляционные характеристики случайных величин

Моменты распределения системы СВ порядка (1,1)важны для многих практических приложений теории вероятностей и имеют собственные названия.

Смешанный начальный момент порядка (1,1) называют корреляциейвеличинξиη. Корреляцию рассчитывают по формулам

(6.0)

Смешанный центральный момент порядка (1,1) называютковариациейвеличинξиη. Для системы непрерывных СВ ковариацию рассчитывают по правилам

.

(6.0)

Раскрыв в ( 6 .0) скобки и проанализировав 4 получающихся интеграла, нетрудно убедиться, что ковариация и корреляция связаны простым соотношением

,

(6.0)

а значит для величин ξ и η, хотя бы одна из которых обладает нулевым математическим ожиданием, они простосовпадают.

Наконец, безразмерное отношение

(6.0)

называют коэффициентом корреляции величинξиη.

Примечание: Зафиксированное после ( 6 .0) совпадение значений величин и привело к неоднозначности в терминологии; часть авторов в своих книгах две эти величины меняют местами. В их книгах название коэффициент корреляции для выглядит более логичным, чем при предложенных выше обозначениях, однако при более широком рассмотрении это приводит к иным нелогичностям и хуже согласуется с трудами иностранных авторов.

Рассмотрим физический смысл понятия корреляции случайных величин. Для этого с учетом ( 6 .0) и ( 6 .0)проанализируем приведенный ниже интеграл:

Итак, ,

но т.к. исходный интеграл J, очевидно, не может быть отрицательным, то коэффициент корреляции всегда удовлетворяет соотношению

.

(6.0)

Кроме того, случаю , очевидно, соответствует, но такое возможно лишь еслидля всехнаблюдаемых пар значений величинxиhсоблюдается равенство

,

т.е. если значения СВ функциональносвязаны между собойлинейной зависимостью.

Рассмотрим также ряд представленных на Рис. 34 случаев, характеризующих разные варианты взаимозависимостей между величинами системы {,}. Значенияx_iиy_i, принятые вi-м опыте величинами  и , определяют расположение на плос­кос­ти очереднойi-й точки, а наиболее вероятным сочетаниям значений соответствуют области плоскости с наибольшей густотой расположения точек.

Левый рисунок соответствует слу­чаю объединения в систему независимых случайных величин. В результате, число точек, принадлежащих каждой четверти плоскости (относитель­но линийи), оказывается вполне сопоставимым, а потому результаты усреднения произведенийс учетом их отмеченных на Рис. 34 знаков, дают нулевое значение ковариации , а значит и нулевой коэффициент корреляции.

Рис. 34. Варианты взаимозависимости величин и

Итак, коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между двумя случайными величинами: при жесткой, функциональной зависимости ; ослабевание связи влечет уменьшение абсолютной величины. Случайные величины, для которых(), называютсянекоррелированными; линейная взаимосвязь для них совсем не проявляется (хотя они могут быть связаны зависимостями иного, нелинейного характера).

Согласно ( 6 .0), для независимых СВ

,

(6.0)

т.е. статистически независимые случайные величины являются некоррелированными.Обратное в общем случае неверно.