3. Биномиальное, пуассоновское и гипергеометрическое распределения

Некоторые из часто наблюдаемых на практике распределений ДСВ были нами уже (в неявной форме) рассмотрены ранее при обсуждении способов расчета вероятностей сложных событий.

Например, в п.3.5 (как и в предыдущем п.4.4.2) обсуждалось проведение серии однотипных независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью pможет наблюдаться событиеA. Но если в п.4.4.2 испытания проводились до первого удачного, то в п.3.5 число опытов в серии было фиксированным и составлялоnиспытаний. Есличисло опытов, в которых при проведении серии из n испытаний бу­дет зафиксировано событие A, рассматривать как дискретную случайную величину ξ, то согласно ( 2 .0) для неё вероятность принятия конкретных целочисленных значенийk составляет

, .

(3.0)

Распределение ( 3 .0) называютбиномиальным.

Вместо упорядоченных серий испытаний на практике часто могут наблюдаться также потоки событий, о которых говорилось в п.3.8. Если поток наблюдаемых событий является пуассоновским (признаки см. на с.57), то случайная величинаη– число событий, происходящих на временном интервале длительности τ, будет подчиняться закону распределения Пуассона

,

(3.0)

где λ– интенсивность потока событий ( 2 .0).

Наконец, некоторые из рассмотренных выше задач можно преобразовать к следующей схеме:

В некоторой ёмкости находятся n однотипных шаров, среди которыхbшаров - белые, а остальные (n – b) имеют другой цвет. Из ёмкости вынимают наугад r шаров. Случайное количество ς белых шаров среди вынутого набораrшаровбудет подчиняться гипергеометрическому закону распределения

,

(3.0)

где max( 0, b + r – n ) ≤ k ≤ min( b, r ).

Примечание: Все рассмотренные выше распределения относились к дискретным случайным величинам, значения которых можно было выразить некоторым набором чисел, либо просто перечислить в таблице; это позволяло использовать для их описания ряд распределения. Но непрерывные и смешанные СВ обладают несчётным множеством значений, не допускающим упорядочения элементов, поэтому для записи их законов распределения вместо ряда распределения необходимо использовать иной вариант представления информации, не требующий табличного перечисления значений СВ.

5. Функция распределения вероятностей св

Функция распределения вероятностей(ФРВ) случайнойвеличины  имеет единственный аргумент x и показывает зависимость от этого аргумента вероятности наблюдения значений СВ , меньших чем x

.

(3.0)

Рассмотрим основные свойства функций распределения:

1. Это безразмерная функция, принимающая значения

.

(3.0)

2. Если диапазон значений, принимаемых случайной величиной, ограничен слева значением x_min, то

,

(3.0)

а при бесконечном диапазоне значений СВ справедливо

(3.0)

т.к. характеризует вероятность наступления невозможного события « < –∞».

3. Если наибольшим значением, принимаемым случайной величиной, является значениеx_max, то

,

(3.0)

и в любом случае справедливо

,

(3.0)

т.к. какое бы значение ни приняла в опыте величина соотношение «<+∞»окажется истинным.

4. По известной функции распределения легко рассчитать вероятность попадания значенийСВ в интервал от a до b

.

(3.0)

Действительно, используя произвольную точку a < b, любой интервал x < b (такой как (1) на Рис. 8) можно разбить на аналогичный интервал x < a (см. (2) на Рис. 8) и отрезок a ≤ x < b. Области x < a и a ≤ x < b не имеют общих точек, поэтому попадание значений  в каждую из них – это несовместные события, а объединение этих событий эквивалентно попаданию в интервал x < b. Таким образом, или, учитывая определение ( 3 .0),, откуда непосредственно следует ( 3 .0).

Рис. 8. К обоснованию свойства 4 функции распределения

5. Функция распределения любой СВ является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. для любых

.

(3.0)

Действительно, левая часть равенства ( 3 .0) не может быть отрицательной, значит, не может быть меньше . Впрочем, тот же вывод можно было сделать и на основании «физических» рассуждений: если , то характеризует вероятность попадания в интервал, расширенный по отношению к тому, который соответствует ; естественно, при расширении интервала вероятность попадания в него уменьшиться не может.

6. C использованием функции распределениявероятность наблюдения отдельных значений СВ может быть определена как

P{  = c } = – .

(3.0)

Пример 2: В отсутствие устройств внешней синхронизации генератор гармонических колебаний формирует сигналы, начальная фаза  которых может равновероятно принимать любые значения из диапазона от 0 до 2π. Построить функцию распределения СВ .

Решение:Наименьшим значением СВ  является нулевое, поэтому для любых отрицательных значений аргумента x выполнение соотношения “ < x” является невозможным; таким образом для всех x<0 справедливо .

Аналогично, поскольку любые значения  не превышают 2π, то неравенство “ < x” будет гарантировано выполняться для любых x > 2π, и для всех подобных аргументов .

Наконец, из равной вероятности наблюдения значений, принадлежащих интервалу 0…2π, следует, что вероятность выполнения неравенства “ < x” с ростом аргумента x будет нарастать линейно (т.е. пропорционально x). Для прохождения через упомянутые выше граничные точки и коэффициент пропорциональности в линейной зависимости должен быть равным k = 1 /2π. Соответствующая функция распределения представлена на Рис. 9. Несложно убедиться, что она удовлетворяет всем первым пяти свойствам, перечисленным выше, а из свойства №6 и непрерывного характера зависимости следует, что для всего диапазона изменения СВ вероятность появления конкретного (выбранного заранее) значения является бесконечно малой величиной P{  = c } = 0.

Рис. 9. Функция распределения случайной начальной фазы колебания

Пример 3: Построим функцию распределения вероятностей СВ  из рассмотренного на странице 71 примера 1 про разность значений на половинках кости для домино.

Решение:Как и в примере 2, для СВ  из примера 1 наименьшим возможным значением является нулевое, поэтому для любых отрицательных значений x справедливо ,однако при положительных аргументах ФРВ изменяется иначе.

Рассмотрим значения x, лежащие между 0 и 1. Для таких аргументов требование “ < x” выполняется лишь в тех опытах, в которых СВ  принимает нулевое значение, а значит для всех подобных x значение ФРВ остается постоянным и равным . Причем на уровень “7/28” функция распределения переходит скачкообразно в точке x = 0, формируя на графике в этой точке «ступеньку» (см. Рис. 10).

Для аргументов x, лежащих между 1 и 2, событие “ < x” наблюдается, если величина  принимает в опыте или нулевое, или единичное значение. Объединение указанных несовместных событий характеризуется вероятностью P = 7 / 28 + 6 / 28 = = 13 / 28, а факт постоянства ФРВ на интервале от 1 до 2 приводит к появлению на её графике ещё одной ступеньки высотой 6 / 28 =P{  = 1 }.

Аналогично рассмотренному, каждому прочему разрешенному (наблюдаемому) значению x_i на графике ФРВ соответствует ступенька, координата которой по оси x равна x_i, а высота – вероятности наблюдения этого значения P{  = x_i }. Итоговый вид графика функции распределения для СВ  представлен на Рис. 10.

Рис. 10. Функция распределения модуля разности значений на половинках кости домино

Так как сумма вероятностей, составляющих нижнюю строку любого ряда распределения, равна 1, то и совокупность «ступенек», из которых состоит график ФРВ любой дискретной случайной величины, обязательно «поднимает» этот график с нулевого уровня, наблюдаемого слева (при больших отрицательныхx), строго до уровня, наблюдаемого правее наибольшего возможного значения СВ.

Если ввести в рассмотрение функцию единичного скачка

.

(3.0)

то функцию распределения любой дискретной случайной величины (ДСВ) можно будет представить в виде суммы скачков

.

(3.0)

Для непрерывных случайных величин (НСВ), напротив, и функция распределения представляет собой не имеющую разрывов зависимость, горизонтальную на участках, значения из которых наблюдаться в опытах не могут, и плавно нарастающую на участках, содержащих наблюдаемые значения СВ.