5. Расчет вероятностей для последовательности независимых испытаний

Многочисленные практические задачи укладываются в следующую схему последовательности независимых испытаний,называемую иногда схемой Бернулли. Пусть производитсяпнезависимых испытаний (повторений эксперимента при неизменных условиях). В результате каждого испытания с вероятностьюрпоявляется событиеА.Вероятность противоположного события,т. е. непоявления событияА,равна.Необходимо определить вероятностьтого, что в данной последовательностипнезависимых испытаний событиеА произойдет ровноkраз,.

Для определения вероятности рассмотрим события

= “в первых k попытках событие A происходило,

а последующие (n-k) попыток были неудачными”;

= “в первых (n-k) случаях событие A не наблюдалось,

а затем происходило подряд ровно k раз”;

= “удачные и неудачные попытки чередовались, но

в целом среди n попыток было ровно k удачных”…

Отличия между этими событиями заключаются лишь в порядке чередования удачных и неудачных попыток, что означает разный порядок следования сомножителей при подстановке вероятностейpиqв правило ( 2 .0). Но так как в каждом произведении присутствует ровноk сомножителейpи(n-k) сомножителейq, то, группируя их, для каждого из событий получаем.

Количество различных вариантов определяется числом разных способов расстановкиkудачных попыток среди всехnпроводимых испытаний. Контролировать взаимное расположение удачных попыток в рассматриваемой ситуации не имеет смысла, поэтому число подлежащих учету несовместных событий составляети, следовательно, . Так как совпадает с коэффициентом прив разложении биномапо степенямx, то полученную формулу часто называют биномиальной.

Итак, вероятность того, что в последовательности п независимых испытаний событие А произойдет ровно k раз

, .

(2.0)

Соответственно, вероятность того, что при выполнении п испытаний событие А будет наблюдаться от дораз, равна

.

(2.0)

6. Независимые испытания с несколькими исходами

Соотношения ( 2 .0), ( 2 .0) позволяют оценить вероятность многократного появления в серии испытаний какого-то одного события, но для контроля за несколькими событиями, к сожалению, непригодны.

Пусть, по-прежнему, производится п испытаний и каждое испытание заканчивается каким-то изm возможных исходов. Обозначим вероятность появленияi-го исхода в отдельном испытании черезp_i, где. Тогда для любогопи любых целочисленныхn₁≥0,n₂≥0, …n_m≥0, таких что, вероятность появления первого исхода ровноn₁раз, второго – ровноn₂раз, аm-го – ровноn_mраз составит

.

(2.0)

Пример 5: Игральный кубик подбрасывают 15 раз. Какова вероятность того, что выпадет ровно 10 единиц и 3 двойки?

Решение. Перечисленные в условии задачи требования характеризуют результаты каких-то 13 бросков, однако кубик подбрасывают 15 раз, поэтому нужная для рассуждений совокупность исходов включает

= “на кубике выпала единица” ( p₁ = 1 / 6 );

= “на кубике выпала двойка” ( p₂ = 1 / 6 );

= “выпало любое значение, большее 2” ( p₃ = 4 / 6 ).

Вероятность появления первого исхода ровно n₁ = 10 раз, второго – ровно n₂ = 3 раза, а последнего n_m = 2 раза составит