3. Расчет числовых характеристик случайных величин на выходе нелинейного преобразователя

В соответствии с определением ( 4 .0) начальные моментыk-го порядка величиныηможно рассчитывать по правилу

,

(5.0)

т.е. k-й начальный момент есть результат усредненияk-х степеней всех возможных значений СВ η с учетом вероятностиих наблюдения в опыте, определяемой сомножителем. Однако, любое значение y выходной СВ η – это реакция нелинейного преобразователя на конкретное входное воздействиеx, порожденное в данном опыте величинойξ. Вероятность появления значенийηиз малой окрестности конкретного уровня y определяются возможностью наблюдения значений СВ ξ, принадлежащих соответствующим диапазонам оси x (см., в частности ( 5 .0)). А значит, перебор всех значений y СВ η вполне можно заменить перебором от минус до плюс бесконечности всех возможных значений x величины ξ. Если при подобном переборе усреднять k-е степени самих значений x, то согласно ( 4 .0) будет полученk-йначальный моментвеличиныξ.Если же выполнять усреднениеk-х степеней реакций y = f( x ), то результатом будетk-йначальный моментСВη:

Числовые характеристики отклика η нелинейного преобразователя на воздействие СВ ξ с законом распределениямогут быть получены без предварительного расчетапо правилам , (5.0) . (5.0) И, в частности, для математического ожидания и дисперсии , (5.0) , (5.0)

4. Примеры анализа функциональных преобразований случайных величин

Пример 1: Случайные величины ξ и η связаны линейной зависимостью η = a ∙ ξ + b. Установить взаимосвязь между их законами распределения и числовыми характеристиками.

Решение: Функция прямого преобразования, определяющая реакцию y преобразователя на входное воздействие x, имеет вид y = a∙x + b и является взаимнооднозначной (см. Рис. 27): каждому x соответствует единственная реакция y, и каждому y соответствует один аргумент x, определяемый

обратной функцией . Её производная .

Горизонтальных участков зависимость y = f(x) = a∙x + b не имеет. Таким образом, в универсальной формуле ( 5 .0) первая сумма будет представлена единственным слагаемым, а вторая – отсутствовать. Получаем связь законов распределения

.

(5.0)

Рис. 27. Случай линейной взаимозависимости величин

Для расчета начальных моментов распределения СВ η подставим функцию y = f(x) = a∙x + b в правило ( 5 .0)

.

(5.0)

Например, для математического ожидания логично получаем

.

(5.0)

Центральные моменты в соответствии с ( 5 .0)

(5.0)

не зависят от параметра b, который лишь смещает вдоль оси y, никак не затрагивая величину отклонения значений СВ от математического ожидания, а вот параметр a явно влияет на разброс значений СВ η и потому, например, её дисперсия увеличивается пропорционально квадрату данного параметра

.

(5.0)

Пример 2: Величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и , а СВ  связана с ней правилом . Определить плотность вероятности и числовые характеристики СВ η.

Решение: Функции прямого и обратного преобразования в рассматриваемом случае имеют вид и . Взаимосвязь между входом и вы­ходом здесь, как и в предыдущем примере, взаимнооднозначная, т.е. любому конкретному соответствует единственный конкретный аргумент.

В соответствии с этим, в универсальной формуле ( 5 .0) следует использовать лишь единственное слагаемое первой суммы, что дает следующую связь законов распределения

, y> 0.

(5.0)

Не следует забывать фиксировать требование«y> 0», т.к. отклик y, формируемый при анализируемом преобразовании, принципиально не может принимать отрицательных значений (см. Рис. 28).

Рис. 28. Случай экспоненциальной взаимозависимости величин

Если СВ имеет нормальное распределение, то результатом применения правила ( 5 .0) будет плотность вероятности

, y> 0.

(5.0)

Полученный закон распределения называют логарифмически нормальным.

Очевидно, прямой расчет числовых характеристик СВ  с использованием ( 5 .0) может оказаться проблематичным. Получим основные числовые характеристики на основе ( 5 .0) и ( 5 .0).