4. Типовые законы распределения дискретных случайных величин

Разнообразных распределений дискретных случайных величин (ДСВ) существует бесконечно много, однако среди них можно выделить несколько достаточно простых по свойствам и часто встречающихся на практике.

1. Равномерное распределение дсв

Этот вид распределения ДСВ соответствует случаям, когда существует лишь несколько равновероятных значений случайной величины. Соответствующий ряд распределения будет иметь вид

xi	x1	x2	…	xN
pi	1/N	1/N	…	1/N

где N– число «разрешенных» (наблюдаемых) значений СВ.

Примером ДСВ, подчиняющейся подобному распределению, может служить цифра, наблюдаемая после броска на верхней грани игрального кубика. Действительно, любая из шести граней кубика может равновероятно оказаться верхней, поэтому каждое из возможных значений от x₁ = 1 доx₆ = 6 имеет одинаковые шансы p_i = 1/6 стать результатом очередного опыта.

Равномерное распределение используют также как первое приближение реальной ситуации в тех случаях, когда истинное распределение ДСВ неизвестно, однако число возможных значений ограничено и нет оснований полагать какие-то из них возникающими в опыте чаше, чем другие. Например, если известен конкретный набор сигналов, используемый противником для передачи информации, а сведения о частоте применения разных сигналов из этого набора отсутствуют, то до сбора статистики, характеризующей возможность появления отдельных сигналов набора, можно полагать сигналы используемыми равновероятно. Тогда номер сигнала, который будет задействован противником в очередном сеансе связи, окажется дискретной СВ с равномерным распределением.

Примечание: Полезно иметь в виду, что наряду с равномерным распределением ДСВ существует и равномерное распределение для величин непрерывных, отличающееся по свойствам от рассмотренного выше. Это распределение будет рассмотрено в п. 4.7.1.

2. Геометрическое распределение дсв

Этот вид распределения ДСВ появляется при рассмотрении последовательности независимых испытаний.

Пусть производится ряд однотипных независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностьюp₁может наблюдаться некоторое событиеA. Обозначим через ξ число неудачных попыток, которые придется проделать в конкретной серии испытаний до первого появления события A. Тогда наименьшим значением, которое сможет принять СВ ξ, будет нулевое, соответствующее экспериментам, где событиеA наступает в первом же опыте. Вероятность такого развития событий, очевидно, составляетP{ ξ = 0} =p₁.

Для появления значения СВ ξ, равногоk, необходимо, чтобы ровно k первых опытов в последовательности испытаний были неудачными, а завершающий последовательность (k+1)-й опыт характеризовался наступлением события A. Вероятность такого развития событий будет равнаP{ ξ = k } = .

В итоге ряд распределения СВ ξ, имеющей геометрическое распределение, принимает вид

xi	0	1	…	k	…
pi			…		…

Нетрудно заметить, что вероятности, составляющие нижнюю строку ряда распределения, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Данный факт и послужил первопричиной соответствующего названия для самого закона распределения.

Обратите внимание, что при многие близкие кнулю значения СВ ξ будут характеризоваться почти совпадающими вероятностями; при наибольшей окажется вероятностьP{ξ=0} =p₁, а каждое последующее значение, начиная с ξ = 1,будет характеризоваться резко уменьшающейся вероятностью, однако в любом из этих случаев сумма всех вероятностей из нижней строки таблицы будет составлять ровно 1.

Действительно, сумма элементов бесконечной геометрической прогрессии, начинающейся с a₁ и имеющей знаменатель q, составляет

.

(3.0)

Для представленного в таблице выше набора вероятностей соотношение ( 3 .0) дает, что подтверждает справедливость свойства нормировки, обсуждавшегося в ( 3 .0), и для геометрического распределения.

Кстати, если в тех же условиях неограниченной последовательности независимых испытаний фиксировать величину ς – общее число удачных и неудачных испытаний, предшествующихнаступлениюr-го очередного “успеха”, то распределение вероятностей СВς будет иметь вид

, k≥ 0

(3.0)

и называться распределением Паскаля.