3. Распределение Релея

Распределение Релея описывает вариацию длины случайного вектора, горизонтальная и вертикальная координаты которого имеют нормальное распределение (приa= 0), характеризует интенсивность отклика амплитудного детектора на шумовое воз­действие, описывает поведение отсчетов спектроанализатора, приходящихся на шумовой участок частотного диапазона и т.д.

Плотность вероятности релеевского распределения имеет вид

,

(3.0)

где σ– параметр, принимающий положительные значения.

Производная плотности вероятности ( 3 .0) имеет вид

,

откуда следует (см. последний сомножитель), что параметр σопределяет наиболее вероятное значение величины ξ – так называемую моду распределения (см. подробнее п. 5.3).

Для ­получения функции распределения Релея воспользуемся ( 3 .0). Учитывая,что допустимыми (наблюдаемыми) являются лишь неотрицательные значения СВ, получаем

, x0≥ 0.

(3.0)

Зависимости ( 3 .0) и ( 3 .0) представлены на Рис. 14.

а) плотность вероятности	б) функция распределения

Рис. 14. Характеристики закона распределения Релея

4. Распределение Коши

Распределение Коши зависит от двух параметров x₀иh(h> 0). Оно характеризуется плотностью вероятности

(3.0)

и функцией распределения

.

(3.0)

Распределению Коши подчиняется, например, координатавершины прямоугольного треугольника (см. Рис. 15), у которого противолежащий вершине угол φ распределен равномерно в

а) плотность вероятности	б) вариант возникновения распределения Коши

Рис. 15. Свойства распределения Коши

пределах от минус π/2 до плюс π/2, прилежащий к этому углу катет имеет длину h, а координата прямого угла составляетx₀. Другие случаи возникновения распределения Коши будут рас­сматриваться ниже.

5. Показательное распределение

Показательное распределение зависит от неотрицательного параметра λ и характеризуется выражениями

, x≥ 0,	(3.0)
, x≥ 0.	(3.0)

Соответствующие графики показаны на Рис. 16. Применительно к теории надёжности параметр λ может быть равен интенсивности потока отказов оборудования (о потоках событий см. с. 57), а при исследовании вариаций мощности колебаний на шумовых участках радиодиапазона величина 1/λ соответствуетсредней мощности анализируемого шума и т.п.

а) плотность вероятности	б) функция распределения

Рис. 16. Характеристики показательного распределения

Отметим, что показательное распределение тесно связано с простейшим (стационарным пуассоновским) потоком событий, обсуждавшимся на с. 57. Для такого потока вероятность наличия на произвольном временном интервале какого-то числа событий потока не зависит от расположения контрольного интервала, но только от его длительности. Поэтому, в частности, отсутствие событий потока на произвольном интервале времени длинойtбудет (см. ( 2 .0)) характеризоваться вероятностью

,

Это значит, что вероятность наличия на произвольном интервале длительности t хотя бы одного из событий простейшего потока, составляет

,

но одновременно, это вероятность P{ T < t }того, что временной интервалTмежду соседними событиями в потоке будет меньшеt.

Итак, интервал времени T между соседними событиями в простейшем потоке подчиняется показательному распределению с параметром, равным интенсивности потока λ

, t≥ 0.

(3.0)