6. Функциональное преобразование случайных величин

Большинство технических устройств и систем представляют собой совокупность взаимодействующих модулей, преобразующих поступающие на вход сигналы в отклики на выходе устройства по некоторым жестко установленным правилам. При воздействии на вход такого устройства (модуля) случайных сигналов, очевидно, и реакция, наблюдаемая на выходе модуля, будет носить случайный характер. Однако из-за наличия четкой зависимости между входными и выходными сигналами, их за­коны распределения также жестко связаны друг с другом. Необходимо лишь выявить правила, позволяющие по свойствам нелинейного модуля и вероятностным характеристикам воздействия, прогнозировать закон распределения отклика, формируемого конкретным нелинейным модулем.

В текущей главе мы рассмотрим преобразование единственной СВ ξ в наблюдаемую на выходе нелинейного преобразователя СВη. При этом взаимосвязь между входом и выходом будет задаваться некоторой известной функцией прямого преобразования y = f( x ), позволяющей рассчитать реакциюyанализируемого преобразователя в ответ на входное воздействиеx(Рис. 24). Случаи преобразования нескольких случайных входных воздействий в одну или несколько случайных реакций будут рассматриваться в гл. 6.

Рис. 24. Общий вид исследуемого нелинейного преобразователя

1. Преобразование дискретных случайных величин

Случай воздействия на нелинейный преобразователь ДСВ является максимально простым для анализа. Для выявления принципов расчета здесь достаточно произвести анализ какого-либо простого конкретного случая, например…

Пример 1: Работа генератора гармонических сигналов синхронизирована с работой некоего внешнего задающего устройства. В зависимости от нюансов процесса синхронизации начальная фаза ψ колебания

,

(5.0)

формируемого генератором, может принять одно из нескольких возможных значений. Ряд распределения СВ ψ показан ниже (в верхней части табл. ???)

Определить закон распределения мгновенного значения на выходе генератора в момент времени t₀ = 10 мкс.

Решение: Дополним стандартную таблицу ряда распределения случайной начальной фазы ψ новой (третьей) строкой, в которую внесём соответствующие ψ мгновенные значения сигнала η, возникающего на выходе генератора. При этом учтем, что , т.е. значения, наблюдаемые в момент времени t₀ являются противофазными по отношению к начальной фазе ψ:

xi	0	π/3	2π/3	π	4π/3	5π/3
pi	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,25
yi	–A	–A/2	+A/2	+A	+A/2	–A/2

Из сформированной строки таблицы видно, что величина η может принимать лишь 4 различных значения ±A и ±A/2; разместим их в порядке возрастания в новой таблице, тем самым получив заготовку для ряда распределения СВ η. Наименьшее значение (–A) СВ η приобретает тогда и только тогда, когда начальная фаза ψ оказывается нулевой, поэтому P{ η= –A } = = P{ ψ = 0 } = 0,05. Значение же (–A/2) СВ η принимает как при ψ₁ = π/3, так и при ψ₂ = 5π/3,поэтому P{ η= –A/2 } = = P{ ψ = π/3 } + P{ ψ = 5π/3 } = 0,35. [Вероятности здесь можно и нужно просто суммировать, т.к. объединяемые события – несовместны] Просуммировав вероятности для двух случаев, приводящих к появлению η= +A/2, и зафиксировав P{ η= +A } = P{ ψ = π } = = 0,20,получаем для СВ η следующий ряд распределения, который и будет ответом к рассматриваемому случаю функционального преобразования ДСВ:

yj	–A	–A/2	+A/2	+A
pj	0,05	0,35	0,40	0,20

Итак, при функциональном преобразовании ДСВ и на входе, и на выходе преобразователя могут наблюдаться лишь счетные множества значений. Число разных значений СВ η, наблюдаемой на выходе преобразователя не может превышать число различных значений СВ ξ, подаваемой на его вход. И анализ функционального преобразования ДСВ сводится, по сути, к пересчету наблюдаемых значений со входа на выход, их упорядочению по возрастанию и к записи получаемого в итоге нового ряда распределения.