2. Характеристики биномиального распределения

Возможный вариант возникновения биномиального распределения уже обсуждался, например, на с. 48. Выяснилось, что вероятность наблюдения в последовательности п независимых испытаний ровноkслучаев наступления событияА равна

, ,

(4.0)

где pи - параметры распределения, определяющие вероятность наступления (и отсутствия) события A в отдельном опыте.

Формальный подход, скажем, к расчету математического ожидания предполагает вычисление суммы

,

(4.0)

однако найти в математических справочниках готовый результат для подобного выражения совсем непросто, а непосредственное суммирование слагаемых имеет приемлемую сложность лишь для n << 100, но не позволяет увидеть общего решения. В связи с этим, попробуем использовать аппарат производящих функций.

В рассматриваемом случае производящая функция будет определяться выражением

,

но последняя сумма есть ничто иное, как определяемое биномом Ньютона разложение по степенямzn-степени суммы. Таким образом, производящая функция биномиального распределенияимеет вид

,

(4.0)

Запишем первые две производные функции :

, .

При подстановке аргумента z= 1 учтем, что параметры распределения связаны соотношениемp+q= 1, а значит центральные элементы обеих зависимостей. Таким образом,математическое ожидание биномиальной СВравно

,

(4.0)

а дисперсия биномиального распределениясоставляет

.

(4.0)

Итак, использование аппарата производящих функций не только существенно уменьшило трудозатраты на расчет числовых характеристик, но и позволило получить эти результаты в общем виде.

Завершая анализ биномиального распределения, получим выражение для определения его моды (см. с. 112). Для этого проанализируем приведенное ниже соотношение вероятностей

.

Добавив к числителю “” и перегруппировав слагаемые, это соотношение можно представит в виде

.

(4.0)

Для малых k≥ 1 дробь в правой части ( 4 .0) оказывается, как правило, положительной, а выражение в целом – больше единицы. Это означает, что с увеличением k вероятность увеличивается. Приk > (n+1)·p, напротив, дробь в правой части ( 4 .0) становится отрицательной, а отношение вероятностей – меньше единицы, т.е. при дальнейшем ростеkвероятность уменьшается.

Итак, модой биномиального распределения служит значение k, определяемое правилом

,

(4.0)

где int(x) – операция взятия целой части числа.

3. Характеристики геометрического распределения

Ещё один вид распределения ДСВ, связанный с исследованием последовательности независимых испытаний, был рассмотрен на с. 73 - это геометрическое распределение. Для ДСВ, подчиняющейся геометрическому распределению, вероятность наблюдения любого целочисленного значения составляет

, k≥ 0,

(4.0)

где p- параметр распределения,q= 1 –p.

Для расчета производящей функции геометрического распределения, запишем

.

В полученном выражении фигурирует бесконечная сумма слагаемых, образующих геометрическую прогрессию. Используя для расчета этой суммы известную формулу ( 2 .0), для производящей функции геометрического распределения получаем окон­чательно

.

(4.0)

Запишем первые две производные функции :

, .

и подставим значение аргумента z = 1, учитывая, что p = 1 –q.

В результате, математическое ожидание геометрического распределениясоставляет

.

(4.0)

Для дисперсиив соответствии с ( 4 .0) получаем

.

(4.0)