244

где ryx1 , ryx2 , rx1x2 - парные коэффициенты корреляции;

β1, β2 - стандартизированные коэффициенты множественной регрессии.

В применении корреляционно-регрессионного анализа можно выделить следующие этапы:

-первый (начальный) этап: качественный анализ явления (события, процесса), выявление результативного и факторных признаков;

-второй этап: построение модели связи на основе корреляционных таблиц и полей;

-третий этап: исследование модели связи, оценка тесноты связи и значимости коэффициентов уравнений регрессии;

-четвертый (заключительный): интерпретация результатов исследования модели связи.

Использование информационных технологий превращает регрессионно-корреляционный анализ в мощный инструмент исследования явлений (событий, процессов) в системе эксплуатации вооружения КВ.

Основное значение этого метода при эксплуатации – прогнозирование результативного признака модели, что является необходимым условием принятия решения.

6.9Прогнозирование состояния системы с использованием марковских процессов и уравнений Колмогорова

Пусть имеется некоторая система S, которая с течением времени меняет свое состояние, т.е. переходит из одного состояния в другое, причем заранее неизвестным, случайным образом, то говорят, что в системе протекает случайный процесс.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским32 (рисунок 6.52), если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

32 Названы по фамилии русского математика А.А. Маркова, впервые сформулировавшим в 1906 году основное свойство этих процессов.

245

стоянии S0, через некоторое случайное время она перейдет в состояние S1. Если процесс марковский, то можно предсказать состояние, учитывая только настоящее состояние системы и забыв о его предыстории (поведении системы при t t0). Само состояние S0 зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть.

Если возможные состояние системы можно пронумеровать и переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно, то такой процесс называется марковским с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Для иллюстрации используем систему (техническое

неработоспособное состояние S1, т.е. произойдет отказ объекта. Как только восстанавливаемый объект откажет, начинается его восстановление – перевод из неработоспособного S1 в работоспособное состояние S0 с интенсивностью восстановления = 1/Тв, где Тв

– среднее время восстановления.

246

Построим граф состояний (рисунок 6.53), для чего обозначим состояния системы кружками, а возможные переходы стрелками, соединяющими состояния.

Имея граф состояний системы, легко получить математическую модель процесса. Система S имеет два состояния S0 и S1, вероятности нахождения в которых соответственно рав-

Придадим времени t малое приращение t и найдем вероятность того, что в момент (t + t) система будет находиться в состоянии S0, т.е. p0(t + t). Это может произойти двумя вариантами: 1) в момент времени t система была в S0 и за время t не вышла из него; 2) в момент времени t система была в S1 и за время t перешла в S0. Вероятность первого варианта равна произведению вероятности p0(t) нахождения в состоянии S0 на вероятность того, что система за время t не перейдет из состояния S0 в S1 [1 - t], т.е. p0(t) . [1- t]. После аналогичных рассуждений для второго варианта получим p1(t)

. t. Складывая вероятности обоих вариантов (по правилу сложения вероятностей) получим

ренциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнения Колмогорова)34.

33Уравнение (6.209) называется нормировочным условием.

34Названы по фамилии русского математика А.Н. Колмогорова, разработавшего в начале 40-х годов 20 столетия основы общей теории марковских процессов.