181

6.5.2 Расчет параметров распределения случайной величины

Каждой числовой характеристике случайной величины соответствует статистическая аналогия: математическому ожиданию – статистическое среднее; дисперсии - статистическая дисперсия; среднему квадратическому отклонению – эмпирический стандарт и т.д.

Если число опытов сравнительно невелико (n < 100), то статистические характеристики можно определить из простого статистического ряда по формулам:

182

- статистическое среднее

- статистическая дисперсия

При большом количестве опытов (n > 100) для определения статистических характеристик целесообразно воспользоваться статистическим рядом. Тогда для числовых характеристик статистического распределения имеем:

нее значение j-го разряда.

6.5.3 Выравнивание статистического ряда

Во всяком статистическом распределении в силу ограниченности числа опытов присутствует элемент случайности. Только при большом числе опытов случайности сглаживаются и полностью проявляется закономерность. При подборе вида распределения следует учитывать только существенные черты статистического распределения. Следует отметить, что в настоящее время не существует критериев, по которым можно было бы без построения гистограмм классифицировать распределения по видам. Задача подбора теоретической кривой для статистического ряда называется задачей выравнивания (сглаживания) статистического ряда.

Вид теоретической кривой распределения выбирается либо из физической сущности исследуемого процесса, либо по внешнему виду гистограмм распределения. Отметим, что при выборе вида теоретической зависимости опыт, как и в любом виде деятельности, является определяющим.

Для гистограмм, приведенных на рисунке 6.37, можно рекомендовать к использованию:

- нормальное распределение (распределение Гаусса)

183

- экспоненциальное распределение

- распределение равномерной плотности

где σx – среднее квадратическое отклонение; mx – математическое ожидание;

λ – интенсивность потока событий; α, β – границы интервала распределения СВ (для распреде-

ления равномерной плотности).

Пределы изменения случайной величины для распределения равномерной плотности определяются из уравнений:

Решая эти уравнения, получим

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) используется для описания большинства случайных величин в технике, природе; экспоненциальное распределение – для описания времени наработки до отказа; закон равномерной плотности – для описания случайных величин, вероятность появления которых примерно постоянна на данном интервале.

Следует отметить, что в науке и технике используется более десяти законов распределения [3.10].

Отметим, что гистограмма распределения может быть описана не только известными законами распределения, но и специфическими для данного распределения зависимостями. Подбор аналитических функций для гистограмм плотности может быть произведен методом наименьших квадратов. Но любая аналитическая функция f(x), с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должно обладать основными свойствами плотности распределения:

бран. Известно, что в выражение этой функции входят несколько параметров a, b, c и т.д. Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f(x) наилучшим образом описывала данный статистический материал. Согласно одному из методов подбора – методу моментов – параметры a, b, c выбирают с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характери-

6.5.4 Проверка правдоподобия гипотезы о выборе закона распределения случайной величины

Критерии согласия отвечают на вопрос о степени согласованности (соответствия) теоретического и статистического распределений. Одним из наиболее распространенных крите-

риев является критерий К. Пирсона, или критерий «хи - квад-

рат», или χ2 - квадрат.

К. Пирсон показал, что мера расхождения

зависит только от числа «степеней свободы»

r = k – s, (6.106)

где k - число разрядов;

s - число независимых условий («связей»), наложенных на выбор теоретического распределения;

pj - вероятность попадания СВ в j - ый интервал.

186

Используя таблицу «Значения χ2 в зависимости от r и p», для каждого значения χ2 и числа «степеней свободы» r можно найти вероятность того, что величина, распределенная по закону χ2, превзойдет фактическое значение этой величины.

Если вероятность р меньше вероятности нижней границы рн.г. = 0,1, т.е. р < рн.г., то выбранное теоретическое распределение не может быть принято. Если вероятность р больше вероятности верхней границы рв.г. = 0,9, т.е. р > рв.г., то следует исключить «подчистку данных», когда некоторые результаты изменяются или исключаются.

Пользоваться таблицей возможно двумя способами:

1 По числу «степеней свободы» r и значению χ2, полученному по формуле (6.105), определяют точное значение вероятности р. Если выполняется условие рн.г. < р < рв.г. , то выбранное теоретическое распределение может быть принято в качестве рабочей гипотезы. Для r = 8 и χ2 = 5,53 последовательность действий показана на номограмме (таблица 6.12).

Таблица 6.12 - Значения χ2 в зависимости от r и p (Фрагмент)

2 Для верхней рв.г. = 0,9 и нижней рн.г. = 0,1 границ вероятностей и числа «степеней свободы» r определяют диапазон значений χ2. Если значение χ2, полученное по формуле (6.105) попадает в диапазон, то выбранное теоретическое распределение может быть принято в качестве рабочей гипотезы. Для r = 8 последовательность действий показана на номограмме (таблица 6.13).

Таблица 6.13 - Значения χ2 в зависимости от r и p (Фрагмент)