187
6.5.5 Алгоритм статистической оценки показателя эксплуатационного процесса
Статистическая оценка показателей эксплуатационного процесса или свойства Вооружение КВ рассмотрим на конкретном примере.
Служба вооружения войсковой части располагает данными о времени выполнения технологической операции «Установка комплектующих элементов на ракету-носитель» (в минутах):
45 49 48 51 48 48 48 52 53 49 50 52 55 50 49 52 55 49 49
51 53 47 50 51 55 46 48 51 54 45 48 48 50 52 47 49 51 53 50 50
52 51 52 49 53 50 51 47 50 54 53 48 50 53 52 46 51 52 55 47 52
53 44 48 50 52 46 51 54 46 49 52 56 45 50 50 60 57 48 49 49 52
54 49 48 51 57 48 48 50 54 48 51 52 56 47 49 52 55 48
Определить закон распределения времени выполнения технологической операции, рассчитать числовые характеристики, проверить справедливость выбора закона распределения. Оценить время выполнения технологической операции с вероятностью не менее 0,9.
Подготовка исходных данных Число опытов n = 100. Минимальное значение СВ Хmin = 44.
Максимальное значение СВ Хmax = 60.
Расчет распределения СВ по интервалам проведен в таблице 6.14.
Таблица 6.14 – Расчет распределения СВ по интервалам
|
Границы |
Правила подсчета: |
Число |
|
Номер |
1 – значение СВ в интервале; |
|||
интервала |
попаданий СВ |
|||
интервала j |
xj – xj+1 |
1 / 2 – значение СВ на |
в интервал mj |
|
|
границе интервала |
|||
|
|
|
||
1 |
44 – 46 |
1, 1/2, …, 1/2, 1 |
7 |
|
2 |
46 - 48 |
1/2, 1/2,…, 1, 1/2 |
15 |
|
3 |
48 – 50 |
1, 1/2,…, 1, 1/2 |
27 |
|
4 |
50 – 52 |
1, 1/2,…, 1/2, 1/2 |
24 |
|
5 |
52 – 54 |
1/2, 1,…, 1/2, 1/2 |
15 |
|
6 |
54 – 56 |
1, 1,…, 1/2, 1 |
3 |
|
7 |
56 – 58 |
1/2, 1/2,…,1, 1/2 |
3 |
|
8 |
58 - 60 |
1 |
1 |
Статистический ряд СВ Расчет статистического ряда проведен в таблице 6.15.
188
Таблица 6.15 –Статистический ряд
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Ij |
44-46 |
46-48 |
48-50 |
50-52 |
52-54 |
54-56 |
56-58 |
58-60 |
mj |
7 |
15 |
27 |
24 |
15 |
8 |
3 |
1 |
p*j |
0,07 |
0,15 |
0,27 |
0,24 |
0,15 |
0,08 |
0,03 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f j* (x) |
0,035 |
0,070 |
0,135 |
0,120 |
0,075 |
0,040 |
0,015 |
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка:
8
m j = 7 + 15 + 27 + 24 + 15 + 8 + 3 + 1 = 100;
j 1
8
p*j = 0,07 + 0,15 + 0,27 + 0,24 + 0,15 + 0,08 + 0,03 + 0,01 = 1,0.
j 1
Гистограмма распределения
Значения ординат f j* (x) рассчитываются по формуле
(6.91) для постоянной длины интервала xj+1 – xj = 2 и приведены в таблице статистического ряда (таблица 6.15). Гистограмма представлена на рисунке 6.38.
Рисунок 6.38 - Гистограмма статистического распределения и плотность распределения
Статистическая функция распределения Значения ординат статистической функции распределе-
ния рассчитываются по формулам (6.93).
Числовые характеристики статистического распределения Статистическое среднее (оценка математического ожидания)
k
mx x j p*j = 45*0,07 + 47*0,15 + 49*0,27 + 51*0,24 +
j 1
53*0,15 +55*0,08 + 57*0,03 + 59*0,01 = 50,32.
Статистическая дисперсия
189
k
Dx (x j mx )2 p*j =(45-50,32)*0,07 + (47-50,32)*0,15 + (49-
j 1
50,32)*0,27 +(51-50,32)*0,24 + (53-50,32)*0,15 + (5550,32)*0,08 +(57-50,32)*0,03 + (59-50,32)*0,01 = 9,13.
Статистическое квадратическое отклонение
x 
Dx 
9,13 =3,02.
Выравнивание статистического ряда Из вида гистограммы следует, что для сглаживания
лучше подходит нормальный закон распределения. Параметры сглаживающего теоретического распределения равны:
mx mx = 50,32; Dx Dx = 9,13; x x =3,02.
Следовательно, для плотности распределения имеем
|
|
1 |
|
(x 50,32)2 |
||
f (x) |
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
2 3,02 |
|
2 3,02 |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0,13exp |
|
|
|
|
|
|
|
(x 50,32)2 .
18,26
Для границ интервалов определяем значения плотности распределения. Например, для х = 44 плотность распределения
равна |
|
|
(44 50,32)2 |
|
0,015 . Результаты осталь- |
f (44) 0,13exp |
|
|
|
||
|
|||||
|
|
|
18,26 |
|
|
|
|
|
|
|
ных расчетов сведены в таблице 6.16.
Таблица 6.16 – Расчет плотности теоретического распределения
x = xj |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
60 |
f(x) |
0,015 |
0,048 |
0,097 |
0,129 |
0,111 |
0,062 |
0,022 |
0,005 |
0,001 |
Графики плотности статистического распределения и сглаживающая ее функция плотности распределения f(x) представлены на рисунке 6.39.
1 |
|
0,9 |
|
0,8 |
F*(x) |
|
|
0,7 |
F(x) |
|
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 
44 46 48 50 52 54 56 58 60
Рисунок 6.39 - Графики статистической и теоретической функций распределения
190
Проверка согласованности статистического и теоретического распределений
Значения функции Лапласа (6.112) для границ интервалов с использованием таблицы «Значения функции Лапласа Ф(х)» приведены в таблице 6.17.
Таблица 6.17 – Расчет значений функции Лапласа
x = xj |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
60 |
(xj-x)/σx |
-1,48 |
-1,01 |
-0,54 |
-0,07 |
0,39 |
0,86 |
1,33 |
1,80 |
2,27 |
Ф(хj) |
-0,9635 |
-0,8466 |
-0,5958 |
- |
0,07900,41860,77960,93990,9891 |
|
0,9986 |
||
Вероятность попадания СВ в 1-ый интервал p1 = 1 / 2
[Ф(46) – Ф(44)] = 0,5 [-0,8466 – (-0,9635)] = 0,058.
Вероятности попадания СВ в интервалы и значения χ2 - квадрат сведены в таблицу 6.18.
Следовательно, χ2 = 0,248 + 0,500 + 0,056 +0,032 + 0,531 + 0,000 + 0,100 + 0,500 = 1,97.
Число «степеней свободы» r = k – s = 8 – 3 = 5.
По таблицам «Значения χ2 в зависимости от r и p» для r = 5 расчетное значение χ2 = 1,97 лежит между табличными значениями χ2 = 1,61 и χ2 = 2,34, которые соответствуют вероятностям р = 0,9 и р = 0,8 соответственно. После интерполяции24 имеем для χ2 = 1,97 р = 0,85.
Таблица 6.18 – Расчет значений «хи-квадрат»
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Ij |
44 - 46 |
46 - 48 |
48 - 50 |
50 - 52 |
52 - 54 |
54 - 56 |
56 - 58 |
58 - 60 |
pj |
0,058 |
0,125 |
0,258 |
0,249 |
0,181 |
0,080 |
0,025 |
0,005 |
n pj |
5,8 |
12,5 |
25,8 |
24,9 |
18,1 |
8,0 |
2,5 |
0,5 |
mj |
7 |
15 |
27 |
24 |
15 |
8 |
3 |
1 |
(mj-npj)2/npj |
0,248 |
0,500 |
0,056 |
0,032 |
0,531 |
0,000 |
0,100 |
0,500 |
Руководствуясь как первым, так и вторым способами, установим, что гипотеза о нормальном распределении времени выполнения технологической операции может быть принята в качестве рабочей.
Решение эксплуатационной задачи Войдя в график теоретической функции распределения
(рисунок 6.39), для р > 0,9 определяем время выполнения технологической операции t > 54 минут.
24 Интерполяция [лат. interpolatio – изменение, обновление] в математике и статистике – отыскание промежуточных значений функции f(x) в точках x, лежащих между точками x0<x1<…<xn по известным значениям yi=f(xi), (где i=0, 1,…, n).